-1-第2讲概率一、选择题1．(2019·重庆市七校联合考试)在区间[－3，4]内随机取一个实数x，则满足2x≥2的概率是()A.27B.37C.47D.57解析：选B.由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的区间长度是7，[1，4]的区间长度是3，所以所求概率P＝37.故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：选D.将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝12，故选D.3．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是()A.15B.14C.13D.12解析：选B.他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是1040＝14.4．(2019·南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数-2-学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19解析：选B.记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种情况，所以他们选课相同的概率为39＝13，故选B.5．(2019·湖南省湘东六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是()A.27B.449C.313D.31313解析：选B.因为3DF＝2BF，所以不妨设DF＝2，BF＝3，则DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝25＋9－2×5×3×－12＝7，所以镖落在小等边三角形内的概率是12×DF2×sin60°12×BC2×sin60°＝449，故选B.6．(2019·武汉市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为()A.34B.58C.716D.916解析：选B.设该篮球运动员投进第n－1(n≥2，n∈N*)个球的概率为Pn－1，第n－1个球投不进的概率为1－Pn－1，则他投进第n个球的概率为Pn＝34Pn－1＋14(1－Pn－1)＝14＋12Pn－1，所以-3-Pn－12＝12Pn－1－12.所以Pn－12＝P1－12·12n－1＝12n－1×14＝12n＋1.所以Pn＝12n＋1＋12(n∈N*)，所以P2＝58.故选B.二、填空题7．一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共24个三位自然数．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.答案：12.8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率为________．解析：由题意，本题是几何概型，以体积为测度．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，所以三棱锥B1-A1BC1的体积13·12·a·a·a＝...
