方法专题-平面向量-向量的数量积范围VIP专享VIP免费

专题平面向量-向量的数量积范围专题平面向量-向量的数量积范围例题分析如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1．点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则AP→·AQ→的最小值为______．参考答案：42－4．解析：解法一：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设P(2，m)，其中0≤m≤1，又设Q(n，1)，因为tan∠BAQ＝tan(∠BAP＋π4)，即1n＝m2＋11－m2×1，所以n＝2－m2＋m，所以AP→·AQ→＝2n＋m＝2×2－m2＋m＋2＝m＋2＋82＋m－4≥42－4，（坐标法分析向量数量积）当且仅当m＋2＝22，即m＝22－2时等号成立．解法二：设tan∠BAP＝θ，tan∠DAQ＝π4－θ，则AP＝2cosθ，AQ＝1cos(π4－θ)，所以AP→·AQ→＝2cosθ×1cos(π4－θ)×cosπ4（定义法分析向量数量积）＝2cosθ×122(cosθ＋sinθ)＝2cos2θ＋cosθsinθ＝21－cos2θ2＋12sin2θ＝222sin(2θ＋π4)＋12≥42＋1，当且仅当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时等号成立．解题强化如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，P是劣弧EF︵上的一点，则PB→·PC→的取值范围是________．参考答案：[－11，－9]坐标法分析——坐标系的建立（2018届苏州一模）△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP→·BP→的取值范围是________．专题平面向量-向量的数量积范围参考答案：[1，13]已知半径为1，圆心角为3π2的AB︵上有一点C．当C在AB︵上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求CE→·DE→的取值范围．解析：以O为原点，以OA→为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．设OC→＝(cosα，sinα)，0≤α≤3π2，E(0，－12)，则CE→＝OE→－OC→＝(0，－12)－(cosα，sinα)＝(－cosα，－12－sinα)．因为D(12，0)，所以DE→＝(－12，－12)，所以CE→·DE→＝12(cosα＋12＋sinα)＝22sin(α＋π4)＋14．（坐标法分析向量数量积）因为0≤α≤3π2，所以π4≤α＋π4≤7π4，所以sin(α＋π4)∈[－1，1]，则22sin(α＋π4)＋14∈[14－22，14＋22]．所以CE→·DE→∈[14－22，14＋22]．已知半径为1，圆心角为3π2的AB︵上有一点C．(1)当C为AB︵的中点时，D为线段OA上任一点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)当C在AB︵上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求CE→·DE→的取值范围．解：以O为原点，以OA→为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，C(－22，22)，所以OC→＋OD→＝(－22＋t，22)，所以|OC→＋OD→|2＝12－2t＋t2＋12＝t2－2t＋1＝(t－22)2＋12(0≤t≤1)，当t＝22时，|OC→＋OD→|的最小值为22．(2)设OC→＝(cosα，sinα)，0≤α≤3π2，E(0，－12)，则CE→＝OE→－OC→＝(0，－12)－(cosα，sinα)＝(－cosα，－12－sinα)．专题平面向量-向量的数量积范围因为D(12，0)，所以DE→＝(－12，－12)，所以CE→·DE→＝12(cosα＋12＋sinα)＝22sin(α＋π4)＋14．（坐标法分析向量数量积）因为0≤α≤3π2，所以π4≤α＋π4≤7π4，所以sin(α＋π4)∈[－1，1]，则22sin(α＋π4)＋14∈[14－22，14＋22]．所以CE→·DE→∈[14－22，14＋22]．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP→＝14BA→＋λBC→(λ∈R)，则BA→·BP→的取值范围是____________．参考答案：[58，254]解析：BA→·BP→＝BA→·(14BA→＋λBC→)＝14BA→2＋λBA→·BC→＝254＋λ×5×3×cosB＝254＋15λcosB，（定义法分析向量数量积）cosB＝25＋9－492×5×3＝－12，因此BA→·BP→＝254－152λ，而P为△ABC内一点(含边界)，BP→＝14BA→＋λBC→(λ∈R)，所以λ∈[0，34]，因此BA→·BP→的取值范围是[58，254]．巩固练习已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO→·AP→的最大值为________．参考答案：6(2017·北京卷)解析：设P(x1，y1)．因为AO→＝(2，0)，AP→＝(x1＋2，y1)，所以AO→·AP→＝2(x1＋2)＝2x1＋4．由题意可知－1≤x1≤1，所以2≤2x1＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6．（坐标法分析向量数量积）在△ABC中，BC＝2，A＝2π3，则AB→·AC→的最...