专题12立体几何大题部分【训练目标】1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、掌握等体积法求点面距；5、掌握几何体体积的几种求法；6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、已知直三棱柱中，，为中点，，.⑴求证：平面；⑵求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结，则和分别为和的中点，所以，而平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以点和到平面的距离相等，从而有.2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，，PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：ADPC；（2）判定CE是否平行于平面PAB，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）平行（2）CE平行于平面PAB，理由如下：取PA的中点为F，连接,EFBF．可知，又，所以四边形BCEF为平行四边形，故//CEBF.又BF平面,PABCE平面PAB，所以//CE平面PAB.3、在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且底面ABCD为边长为2的菱形，60BAD，2PD．（1）证明：面PAC面PDB；（2）在图中作出点D在平面PBC内的正投影M（说明作法及其理由），并求四面体PBDM的体积．【答案】（1）见解析（2）4321【解析】（1）因为PD平面ABCD，，所以PDAC，在菱形ABCD中，ACBD，且，所以，又因为，所以面．（2）取BC的中点E，连接DE，PE，易得BDC△是等边三角形，所以BCDE，又因为PD平面ABCD，所以PDBC，又，所以，在面PDE中，过D作DMPE于M，即M是点D在平面PBC内的正投影，则DMBC，又，所以，经计算得3DE，在RtPDE△中，2PD，，，，．4、如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。（1）证明：直线BC∥面OEF；（2）在线段DF上是否存在一点M，使得二面角的余弦值是13133，若不存在请说明理由，若存在请求出M点所在的位置。【答案】（1）见解析（2）M为DF中点（本题可先证明BC//EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）（2）设OD的中点为G，以G为原点，GE、GD、GF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。易知，)0,1,0(O，)0,0,3(E，)3,0,0(F,)0,1,0(D.设DFDM，]1,0[.可得，5、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，2AB，4AC，，D为BC的中点．（1）求证：ADPB；（2）若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积．【答案】（1）见解析（2）4【解析】（1）在ABC△中，由余弦定理得，则27BC．因为D为BC的中点，则．因为，则，所以3AD．因为，则ABAD．（5分）因为PA底面ABC，则PAAD，所以AD平面PAB，从而ADPB．（2）分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．设PAa，则点2,0,0B，0,3,0D，0,0,Pa．所以，．6、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（2）当二面角D－FC－B的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）点E为棱AB的中点（2）60°【解析】（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝12CD，AE∥CD且AE＝12CD，故AE∥FQ且AE＝FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AF∥EQ，又EQ?平面PEC，AF?平面PEC，所以，AF∥平面PEC.设平面FBC的法向量为m＝()x，y，z，则由得2y－az＝0，3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，z＝23a，所以取m＝1，3，23a，显然可取平面DFC的法向量n＝()1，0，0，由题意：24＝||cos〈m，n〉＝11＋3＋12a2，所以a＝3.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PB...
