土木工程专业有限元第二次作业姓名：班级：学号：指导教师：二〇一五年6月12日习题：平面应力问题的八节点等参元，已给定8个节点的坐标。试查资料并论述：1、单元中位移函数u（ξ，η），v（ξ，η）和单元节点位移{δe}的关系式；2、[B]矩阵的计算步骤和计算式；3、单元刚度矩阵[ke]的一般计算方法和计算步骤；4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性；5、如果给定母单元中点A，（ξ，η），怎样求实际单元中与A，相对应的点A（x，y）；反之，如果给定实际单元中的点A（x，y），怎样求其在母单元中对应点A，（ξ，η）？6、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe}怎样求单元中某一点B（x，y）的应力？实际单元12435678AYX12435678η=1η=﹣1ηξ母单元ξ=1ξ=﹣1Aˊ1解：1、此题分两步进行：单元位移场的表达：如图1所示,在任意四边形的每边中间设一附加节点，则单元边界就变成二次曲线的了。如果直接在整体坐标系,xy下，像八节点矩形元那样，构造双二次多项式的位移插值函数，则因曲边四边形单元边界是二次曲线，故边界上的位移是()xy或的五次多项式，它不能由曲边上三个节点的位移分量唯一地决定，从而不能保证相邻两个单元在公共边上位移的协调条件，所以在整体坐标系,xy下构造完全协调的位移插值函数是很困难的，利用坐标变换，可将曲边四边形单元变换成基本单元，如图2所示的在自然坐标,下具有边长为2的八节点正方形单元，自然坐标系,是外节点坐标值为±1的局部坐标系。在自然坐标系的单元上构造协调的位移插值函数，其形状函数是较普通的，取位移分量为,的双二次多项式,即：2222123456782222910111213141516uaaaaaaaavaaaaaaaa（1-1）利用8个节点的16个位移分量可唯一确定16个待定常数1216,,aaa⋯,，若代入8个节点的局部坐标值，得：图1：在总坐标系中具有二次曲边的四边形单元图2：在自然坐标系中的曲边四边形的基本单元211523264536774881-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000uauaauuaauauauua（1-2）195102116123137141548161-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000vavavavavavaavva（1-3）将解出的16个待定常数1216,,aaa⋯,代入式（1-1）即得:811552266337744881811552266337744881iiiiiiuNuNuNuNuNuNuNuNuNuvNvNvNvNvNvNvNvNvNv（1-4a）也即：128eeuNNNvuIIIN（1-4b）其中I为二阶单元矩阵，e为等参元节点位移列阵，N为形状函数矩阵。形状函数的建立：按等参元思想，在整体坐标系XY下,任何形状歪斜四边形单元都将变换到局部坐标系下的正方形单元。对8节点等参元,其移模式为：81,iiiuNu（1-5）3式中,iu为歪斜单元8节点的位移，,iN为形状函数。查阅相关资料，得形函数公式公式为：8181,,,kkikiikFNF（1-6）又由形状函数的性质可具体地求出iN的表达式为：123425262728=1114=1114=1114=1114=112=112=112=112NNNNNNNN（1-7）2、根据平面问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下：128=xeeyxy=BBBB（2-1）其中：0=0iiiiiNxNyNNyxB（2-2）即要求出矩阵iB中的元素iNx，iNy(1,2,,8)i。另根据符合函数求导法则，可知：4=iiiiiiNxyNNxxNNNxyyyJ（2-3）其中，J为二维坐标变化下的Jacobi矩阵，即：xyxyJ（2-4）其元素计算式为：81iiiNxx，81iiiNxx，81iiiNyy，81iiiNyy（2-5）又根据式（2-3），有1iiiiNNxNNyJ（2-6）根据公式（2-2）即可得出iB矩阵，其中iN可由问题1方法求出。3、单元刚度矩阵按普遍公式计算，公式如下：eeeTTkdVhdxdyBDBBDB（3-1）其中e为单元体积域，ek为16×16的方阵（具体形式见下文），D为材料的弹性系数矩阵，各向同性材料的弹性系数矩阵为：5101-1101121-1-2002-E（1）D（3-2）上述积分应在局部坐标系内进行，因此面积元素dxdy需表示成dd.如图3所示为子单元内任一点,axy处的微小正方形，它是由局部坐标系中点,处的微元体dd变换而成的。以,ij表示,xy轴的单位基矢量，,abac分别由,dd变换而成，则：xydab=ijxydac=ij（3-3）上述2个矢量的叉积表示它们所构成的平行四边形面积，故：dVJddabac（3-4）其中，J为矩阵J的行列式，即xyJxy将上式带入式（3-1），并写成分块...
