概率一二章较难习题解答2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3/6第一章较难的题22、一人的口袋中放有两盒火柴，每盒n只，每次从口袋中随机地取出一盒并用去一支，当他发现一盒空了，另一盒还恰有m支火柴的概率是多少？解样本空间可以这样考虑，每次或取甲盒或取乙盒，有2种选择，他发现一盒空了，另一盒还恰有m支火柴说明共取了2nm次，故样本空间总数为22nm，这其中n次取了甲盒，这种取法共有2nnmC次，故所求概率为222nnmnmCp26、甲掷骰子1m次，乙掷m次，求甲掷出的偶数面比乙掷出的偶数面多的概率。解若甲乙都掷m次，则两人掷出偶数面的概率是相等的，现在甲多掷一次，这一次他掷出偶数面的概率为12，因此甲掷出的偶数面比乙掷出的偶数面多的概率为12。47、将m根绳子的2m个头任意两两相接，求恰好结成m个圈的概率.解设iA表示第i根绳子结圈，i=1,2，⋯m,则恰好结成m个圈的概率为12121121()()()()11111=12m-12m-32m-53(2m-1)!!mmmPAAAPAPAAPAAAALLLL计算1()PA时考虑第一根绳子中一个绳头固定，另一个绳头有2m-1种选法，其中只有一个能结圈，所以11()=2m-1PA，其余类推。48、甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷。每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第m次由甲掷的概率。解设第m次由甲掷的事件为,1,2,mAmL，由题意和全概公式有111111111()()()()()()5112=()()()6663mmmmmmmmmmmmmmPAPAAAAPAPAAPAPAAPAPAPAU已知1()1PA，用上式递推公式求解()mPA，为方便将其变形为1121()[()]232mmPAPA则11112112()()[()]()23223mmmPAPA所以112()[1()]1,2,323mmPAL50、甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三个人比赛，依次循环，直4/6至一人连胜两次为止，此人即为冠军。而每次比赛双方取胜的概率都是12，现假定甲、乙两个人先比赛，试求各人获得冠军的概率？解用a表示甲胜，b表示乙胜，c表示丙胜。比赛的可能结果可用下面方法表示,,,,,,,,,,,,aaaccacbbacbaaacbaccacbacbbbbbccbcaabcabbbcabccbcabcaaLL在这些结果中，恰好包含k个字母的事件发生的概率是12k，则丙取得冠军的概率是369()[()()]+[()()]1112=2222227PcPaccPbccPacbaccPbcabccLL由于甲乙两人所处的地位是对称的，所以()()PaPb，故125()()(1)2714PaPb52、要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该批乐器中随机的取三件测试（设3件乐器的测试相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接受，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解设这批乐器被接收的事件为B,随机取三件测试中有k件乐器本身音色不纯的事件为,0,1,2,3kAk，则由全概率公式有3031221333239649649643333100100100100()()()0.990.050.990.050.990.05=0.8629iiiPBPAPBACCCCCCCCCC5/6第二章较难的题8、两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中为止，若第一名队员投中的概率为4.0，第二名投中的概率为6.0，求每一名队员投篮次数的概率分布律（设由第一名队员先投）。解设第一名和第二名队员投篮次数分别为X和Y，他们第k次投中的事件分别记为1,2,kkABkL、，，则X的分布律为11111111111111111()(()=()()=0.60.40.60.60.40.60.60.40.761,2,3kkkkkkkkkkkkkkkkkkPXkPABABAABPABABAPABABABkLULLLY的分布律为1111111111(0)0.4()(()=()()=0.60.40.60.60.40.40.60.40.761,2,3kkkkkkkkkkkkkkkPYPYkPABABBAPABABPABABAkLULLL27、已知某种类型的电子元件的使用寿命（单位：小时）服从参数为0.001的指数分布，一台仪器中装有3只此类型的元件，其中任一只损坏时仪器便不能正常工作，且每只元件是否损坏是相互独立的，求仪器的使用寿命在1000～1500小时的概率。解设T表示仪器的寿命，iX表示第i个元件的寿命，i=1,2,3P(10001000)-P(T>1500)=123123(1000,1000,1000)(1500,1500,1500)PXXXPXXX3311[(1000)][(1500)]PXPX34.5ee39、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数)(tN服从参数为t的泊松分布，试求相继两次故障之间时间间隔T的概率密度。解先求相继两次故障之间时间间隔T的分布函数F(t):0()()1()1(=0)()=110!ttFtPTtPTtPNttee（）所以T服从参数为的指数分布，密度函数为6/6t0()0t<0tefx
