概率统计谢寿才版第三章习题及其解答2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3/21习题三1.设盒子中装有红球和黑球共12个，其中只有2只是红球，现从盒中取球两次，每次任取一个，考虑下面两种试验：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取.现对随机变量X，Y作如下定义.,1;,0若第一次取出的是黑球若第一次取出的是红球X.,1;,0若第二次取出的是黑球若第二次取出的是红球Y试分别就(1)、(2)两种情况，写出X，Y的联合分布列及边际分布列.解：),(YX所有可能取得值为：（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）.(1)有放回抽样首先，求}0,0{YX的概率，即第一次取到红球，第二次也取到红球的概率，易得361121222)0,0(YXP，3651212102)1,0(YXP，同理：3651212210)0,1(YXP，362512121010)1,1(YXP，其次，由边际分布定义可得61365361)0(XP，653625365)1(XP；61365361)0(YP，653625365)1(YP；即得XY01ip0361365611365362565jp6165(2)无放回抽样首先，求}0,0{YX的概率，即第一次取到红球，第二次也取到红球的概率，易得661111212)0,0(YXP，3351112102)1,0(YXP，同理：3351112210)0,1(YXP，22151112910)1,1(YXP，其次，由边际分布定义可得61335661)0(XP，652215335)1(XP；4/2161335661)0(YP，652215335)1(YP；即得XY01ip0661335611335221565jp61652.一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件.从这批产品中有放回地任取5件，用X和Y分别表示取出的5件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量),(YX的联合分布列及X和Y边际分布列.解：因为X和Y的可能取值都是0，1，2，3，4，5，即),(jYiXPpij当5ji时，0)(),(PjYiXPpij当5ji时，事件},{jYiX表示：取出的5件产品中有i件是一等品、j件是二等品、ji5件是三等品的件数，所以有放回抽取时，有jijijijiijjijipppjijip55321)1.0()3.0()6.0(!)5(!!!5)!5(!!!5故),(YX的联合分布列及X和Y边际分布列为YX012345ip00.000010.000150.00090.00270.004050.002430.0102410.00030.00360.01620.03240.024300.076820.00360.03240.09720.0972000.230430.02160.12960.19440000.345640.06480.194400000.259250.07776000000.07776jp0.168070.360150.30870.13230.026350.002433.一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件.从这批产品中无放回地任取3件，用X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量),(YX的联合分布列及X和Y边际分布列.解：因为X和Y的可能取值都是0，1，2，3，即),(jYiXPpij当3ji时，0)(,PjYiXPpij；当3ji时，31003103060),(CCCCjYiXPpjijiij故),(YX的联合分布列及X和Y边际分布列为5/21YX0123ip00.000740.008350.026900.025110.061110.016700.111320.1614100.2894320.109460.32839000.4378530.211630000.21163jp0.338530.448060.188310.025114.设随机变量iX，（2,1i）的分布列如下，且满足1)0(21XXP，试求)(21XXP.iX101p25.05.025.0解：根据题意，1)0(21XXP，故由分布列的正则性可得0)0(21XXP2X1X101ip10x025.00yzt5.010w025.0jp25.05.025.0由分布列的正则性可得25.0x，25.0t，25.0w，0z，25.0y，则)1,1()0,0()1,1()(21212121XXPXXPXXPXXP0000.5.设二维随机变量),(YX的联合概率密度为.,0,0,0,6),(32其它yxeyxfyx试求：(1))1,1(YXP；(2))(YXP.解：根据题意积分区域1D和2D如图所示yy1D12Do1xo1x(1)101326),()1,1(1dyedxdxdyyxfYXPyxD043.0)1(63213102eedyedxeyx；(2)dyedxdxdyyxfYXPxyxD03206),()(26/216.0)4.0()1(2052032xxxxeedxee.6.设二维随机变量),(YX的联合概率密度为.,0,10),1(6),(其它yxyyxf试求：(1))5.0,5.0(YXP；(2))5.0(XP和)5.0(YP；(3))1(YXP.解：(1)积分区域}15.0,5.0),{(1yyxyxD15.05.0)1(6),()5.0,5.0(1yDdxydydxdyyxfYXP125.0)1)(5.0(615.0dyyy；(2)积分区域}5.00,1),{(2xyxyxDdyydxdxdyyxfXPxD15.00)1(6),()5.0(2875.0)33(5.0032dxxxx；积分区域}5.00,0),{(3yyxyxDdxydydxdyyxfYPyD05.00)1(6),()5.0(35.0)1(65.00dyyy；(3)积分区域}5.00,1),{(4xxyxyxDdyydxdxdyyxfYXPxxD15.00)1(6),()1(...
