必备三解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念——理解概念抓本质例1若z=sinθ-35+(cos??-45)i是纯虚数,则tan(??-π4)的值为.易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan(??-π4)的值为多个,从而错解.答案-7正确解析由纯虚数的概念,可知{sin??-35=0,①cos??-45≠0,②由①,得sinθ=35,故cosθ=±√1-sin2θ=±√1-(35)2=±45,而由②,可得cosθ≠45,故cosθ=-45,所以tanθ=sin??cos??=-34,则tan(??-π4)=tan??-tanπ41+tan??tanπ4=-34-11+(-34)×1=-7.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是.陷阱二错用结论——公式定理要记准例2将函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(π4)=.易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(??+π6)=2sin(2??+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(12×2x+π3)=2sin(??+π3).所以f(π4)=2sin(π4+π3)=2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin(2??+π6)-cos(2??+π3)+2cos2x.(1)求f(π12)的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三忽视验证——特例情况要谨记例3已知椭圆??29+??28=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线交于点P,判断?????????????·?????????????是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析(1)因为椭圆??29+??28=1的半焦距为c,所以c=√9-8=1,因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设曲线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以??2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)?????????????·?????????????为定值.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以?????????????·?????????????=0.②当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,由{??=??(??-1),??2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y1>0,y2<0,则x1+x2=2+4??2,x1x2=1.由y2=4x(y>0),得y=2√??,y'=1√??,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=1√??1(x-x1),即y=??√??1+√??1;由y2=4x(y<0),得y=-2√??,y'=-1√??,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-1√??2(x-x2),即y=-??√??2-√??2.由{????=????√??1+√??1,????=-????√??2-√??2得{????=-√??1??2=-1,????=2??,即P(-1,2??...
