专题七类比探究题类型一线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC＝BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则ACBD＝OCOD＝3，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；(3)正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°，ACBD＝3，可得AC的长．【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】 ∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COA＝∠DOB. OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC＝BD，∴ACBD＝1.②40°【解法提示】 △COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO. ∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°，在△AMB中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°.(2)类比探究ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由如下：在Rt△OCD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴ODOC＝tan30°＝33，同理，得OBOA＝tan30°＝33， ∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO.∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°.(3)拓展延伸①点C与点M重合时，如解图①，同理得△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，ACBD＝3，设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△COD中， ∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2.在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝7.∴AB＝2OB＝27，在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(3x)2＋(x－2)2＝(27)2，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)，∴AC＝33；②点C与点M重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，ACBD＝3，设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(3x)2＋(x＋2)2＝(27)2解得x1＝－3，解得x2＝2(舍去)．∴AC＝23.综上所述，AC的长为33或23.图①图②例1题解图1．(2016·河南)(1)发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为__________(用含a，b的式子表示)．(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AEBD＝__52__；②当α＝180°时，AEBD＝__52__；(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．3．(2014·河南)(1)问题发现如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为__________；②线段AD，BE之间的数量关系为______________．(2)拓展探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．4．(2018...
