有限元二维热传导波前法MATLAB程序二维热传导有限元使用高斯消去法解线性方程组的二维热传导有限元程序波前法的基本概念与算法使用波前法解线性方程组的二维热传导有限元程序消元过程波前法与高斯消去法的效率之比较小结：波前法的过去、现在和未来波前法是求解线性方程组的一种方法，广泛用于有限元程序。它最初由英国人（？）B.M.Irons于1970在“国际工程计算方法杂志”上发表。30多年来，波前法有了不少变种。本文所用算法，采于法国人PascalJOLY所著《MiseenOeuvredelaMéthodedesElémentsFinis》。这本书是我1993年在比利时一家书店买的，书中有一节"波前法"，六页纸，解释了基本概念和算法，但没有程序，也没有细节讨论。我曾花了两个半天的时间，在网上寻找波前法程序，或更详细的资料，没有找到（需要花钱才能看的文献不算）。倒是看到不少中国人，也在寻找。一些人说，波前法程序太难懂了。通过自己编写程序，我同意这些人的说法，确实难。我还真很少编如此耗费脑力的程序。完工之后，我曾对朋友老王说，有了算法，编程序还这么难，当初想出算法的人，真是了不起。现将我对波前法的理解和编程体会解说如下，供感兴趣的网友参考，也为填补网络上波前法空白。二维热传导有限元波前法和有限元密不可分。因而，在编写波前法程序之前，必须有个有限元程序。为了简化问题，最好是能解算一个节点上只有一个自由度的问题的有限元程序，而且要尽可能地简单。我手边现有的有限元程序都不符合这个要求。就决定先开发一个解算二维热传导问题的MATLAB有限元程序。二维热传导问题的微分方程是其中T是温度，Kx和Ky分别是x和y方向上的热传导系数，q是热源。对于这样的比较经典的二阶微分方程，如何导出有限元表达式？这个问题，是有限元的首要问题！我相信，许许多多学过有限元的人，甚至每天都在用有限元的人，并不真的十分明了。我自己曾经就是这样。在我于2005年3月到巴西教书之前，我搞过20年有限元，其中有六年，还是在比利时一个专门开发有限元程序的公司里度过的。但是，如果您那时问我，任给一个二阶偏微分方程，例如上述热传导方程，如何导出有限元表达？说老实话，不看书，我还真就不会！直到2006年，我教了一遍有限元后，才弄明白（惟教书才是最好的学习）。其实简单极了：只需将那二阶偏微分方程，乘上一个任意标量函数，然后在某个有限单元上积分。请看下列推导：即其中，Ωe是单元面积；Φ是任意标量函数。注意在以上积分中，温度要遭受二阶偏导，这很不好。有限元的精髓，在于通过分步积分，将其中一阶偏导转移到那个任意标量函数Φ上，这样就可降低一阶温度偏导，改善对它的苛刻待遇。这得用到您在高等数学最后一章里学过的散度定理（Theoremofdivergence）：其中，Г是面积Ω的边界；（反）Δ是梯度算子；F和G是任意两个矢量函数。对于二维问题，上述散度定理可写为：将此散度定理应用于（2）式中的第一项积分，令得：将此积分结果带入（3）式，得到热传导偏微分方程的弱化表达（weakform）：所谓“弱化”，是指对温度函数的可导阶数要求降低了。在原热传导偏微分方程（1）中，温度函数必须是二阶可偏导函数，而在弱化表达（6）中，温度函数只要一阶偏导就行了。有限单元法就是以偏微分方程的弱化表达式为出发点的。现在，到了说明那个任意标量函数，Φ，是何方神圣的时候了。有限单元法有各种各样的变种，而最常见的，应用最广泛的，是所谓迦辽金法（Galerkin），即将这个任意标量函数，等同于，有限元的插值函数。迦辽金法的优点是可以最终形成对称劲度矩阵，从而具有较好的数值稳定性。我们知道，在一个有限单元中，任意一点的值，例如温度，是用节点上的温度表达的。对于一个四节点双线性单元来说，设四个节点的温度分别是T1,T2,T3,T4，则单元内任意一点的温度T可表达为其中Ψ1，Ψ2，Ψ3，Ψ4，为插值函数，也称为形函数，定义如下：其中ξ和η称为形坐标，取值区间为[-1,1]。基于式（7），对温度的偏导数可写为：将此二偏导数代入弱化表达式（6），该式就转化为以节点温度为变量的代数方程：到此，为得到原偏微分方程的有限元表达，我们只需将任意标量函数，Φ，...
