1浙江大学数学分析考研试题解答一、（1）证明limcoscoscos222nnttt(coscoscos)sin2222limsin2nnnntttttsinlim2sin2nnnttsinsinlimsin22nnntttttt；（2）利用1cos42，及111coscos2222nn，2312limcoscoscos222nn，即得2111111111222222222。二、解1001()()()xgxfxtdtfudux，（0x）；显然10(0)(0)0gfdt102000()1lim()limxxxfudufxtdtxx00()1()(0)15limlim(0)22022xxfxfxffxx。三、解令sin.nanx，111(1),2nbnn由于1nnbb111111(1)(1)2121nnnn1111111(1)(1)(1)12121nnnnn21111111(1)(1)012(1)121nnnnnn，所以{}nb单调递减.又因为1lim0,nn所以111limlim(1)0.2nnnbnn而1121|||sin|,|sin|nnkxkkakx(2)xk即1kka的部分和有界，于是,由Dirichlet判别法可知级数收敛；当2xk时，显然级数收敛。四、设fx是区间I上的有界函数，证明fx在区间I上一致连续的充分必要条件是对任给的0，总存在正数M，使得当,xyI，xy，且fyfxMyx时，就有fyfx.证明充分性用反证法.假若fx在区间I上不一致连续，则存在00，存在,nnxyI，使得1nnxyn，但0nnfxfy，即有0nnnnfxfynxy，由假设条件，对002，只需要n充分大，就有02nnfxfy，矛盾所以fx在区间I上一致连续；必要性设fx在区间I上一致连续，用反证法若结论不成立，3则存在00，对任意正整数n，存在,nnxyI，使得nnnnfxfynxy，但0nnfxfy.即有2nnMxyn，supxIMfx，这与f一致连续矛盾.注：对函数fxC，或者fxx，显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的nx，ny不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.五、证明黎曼函数11)(nxnx在),1(内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。（这种性质，也称为无穷次可微。）证明令xxnnnxu1)(，显然xxnnnxu1)(，nnxuxnln)(，2)(ln)(nnxuxn，kxkknnnxu)(ln)1()]([)(，,3,2,1k都在),1(上连续；4对任何1，当x时，1|()|nuxn，1|()|lnnuxnn，()1|[()]|(ln)kknuxnn，而11(ln)knnn收敛，所以1()nnux，)(1xunn，)(1)]([knnxu，（,3,2,1k）都在),[上一致收敛，故11)(nxnx在),[内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。由于1是任意的，所以11)(nxnx在),1(内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。5显然11xnn在),1(内非一致收敛，11)(nxnx在),1(内不一致连续。假若11)(nxnx在),1(内一致连续，则有1lim()xxA存在且有限，在11()Nxnxn中令1x，取极限，得11NnAn，(1,2,3,)N，矛盾。六、3xdydz，其中为下半椭球面1222222czbyax的外侧.解设222222{(,,):1,0}xyzVxyzzabc,2222{(,,0):1}xyDxyab,利用高斯公式，得33()DDxdydzxdydz下侧上侧23Vxdxdydz21220023(sincos)sinddarabcrdr23220213(cos)sinsin5abcdd232021cos213(1cos)(cos)52abcdd6七证明（1）显然(0,0)0f，1222(,)()0fxyxy，((,)(0,0))xy，(,)(0,0)lim(,)0(0,0)xyfxyf，所以(,)fxy在(0,0)处连续，1222(,)()fxyxy，由22222(,)(0,0)0()0fxyfxyxy，22(0)xy即得(,)fxy在(0,0)处可微。（2）对任意00(,)xy，22000xy，当(,)xyQQ，且00(,)(,)xyxy时，122200(,)()0fxyxy，而当(,)xy沿着非有理点，趋向于00(,)xy时，(,)0fxy，从而可知，00(,)(,)lim(,)xyxyfxy不存在，(,)fxy在00(,)xy处不连续，亦不可微，偏导数不存在。故(,)fxy在除原点以外的其它点处，既不连续，也不可微。八、解取新坐标系Ouvw，其中原点不变，平面0axbycz即为Ovw，u轴垂直于该面，即是作正交变换，点(,,)xyz在Ouvw中的坐标为(,,)uvw，则有222axbyczuabc，在新坐标系下，公式左端的积分可写为22222211()()xyzuvwfaxbyczdxdydzfkududvdw222111()vwufkududvdw121()(1)fkuudu121(1)()ufkudu，2220kabc。九、证明()gx是周期为2l的连续函数，12l，设1()coslklkxagxdxll12122()cos2gxkxdx，(0,1,2,...)k712121()sin2()sin2lklkxbgxdxgxkxdxll，根据Fouier级数收敛定理，得01(cos2sin2)2kkkaakxbkx在2[0,1]L中收敛于()gx，122222021121()()2()2lkklkaabgxdxgxdxl，设01()(cos2sin2)2NNkkkaSxakxbkx，由120()()0NSxgxdx，()N，可知120()()0NSnxgnxdx，()N且关于n是一致的，所以有1100lim()()()()NNSnxfxdxgnxfxdx，且关于n是一致的，则有1100lim()()limlim()()NnnNgnxfxdxSnxfxdx，而1111000001()()()[cos2()sin2()]2NNkkkaSn...
