数列的概念与简单表示法【知识点讲解】一、数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为123,,,,,naaaa简记为na.二、数列的通项公式1、定义：如果数列na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个公式()()nfnnNa来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.2、数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.3、注意事项通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：0,1,0,1,的通项公式可写为1(1)2nna，还可以写成0,()1,()nnan为奇数为偶数若已知通项公式，可将123，，，代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.三、数列与函数的关系在数列na中，对于每一个正整数()nnN都有一个数na与之对应，因此，在函数的意义下，数列可以看成是以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数()nafn，当自变量n从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值为(1),(2),,(),fffn，简记为{()}fn.四、数列的分类（1）根据项数是有限还是无限来分有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.（2）根据项的增减规律来分递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项1nnaa.递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项1nnaa.常数列：各项均相等的数列1nnaa.摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如：1,1,0,3,2递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等.（3）根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分有界数列：若,||(nnNaMM为常数）无界数列：若,MRnN使得||naM.五、数列的表示法（1）列举法：如2，4，6，8，⋯⋯.（2）图像法：用)(,nna表示函数()yfx图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可是有限的.（3）解析法：用通项公式表示，如32nna（4）递推公式法：用表示数列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如11a，1111,1nnaaa；21111,2,32(2)nnnaaaana六、数列的前n项和公式：12nnSaaa（1）前n项和nS与通项na的基本关系为:11,(2),(1)nnnSSnSna七、数列的单调性（1）根据定义：若1nnaa，则na为递增数列；若1nnaa，则na为递减数列；（2）作商比较：（前提是各项均为正数，0na），若11(1)nnaa或，则na递增（或减）.八、数列的最值（1）若11nnnnnaaaaa为最大项；若11nnnnnaaaaa为最小项.（2）构造函数，先确定单调性，再求最值.【例题】例1.数列149161,2,3,4,251017L的一个通项公式是。1.22.1nnann提示：观察和对应项数的关系，不难发现111122，22442222,552122993333,101031⋯，一般地，22.1nnann例2.数列,54,43,32,21的一个通项公式是。2.1)1(1nnann。提示：这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1），二是分式，分子是n，分母n+1。故1)1(1nnann.例3.将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224⋯⋯⋯⋯2826则2006在第行，第列。3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。例4.已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是。4.3（，）。提示：常见的错解：an是一个特殊的二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-21，即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，忽略了数列的离散性的特点。正解如图，只要-2<32,即>-3时就适合题意。例5.观察下列不等式：112，111123，111312372，111122315，1115123312，，由此猜想第n个不等式为▲.5.111123212nn。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=22，2=42，故猜想：111123212nn。点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点...
