牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较.关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学；九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：(1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制.(2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败.所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量.2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文1yxOx*x1x0牛顿迭代法(Newtonmethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要.方法使用函数fx的泰勒级数的前面几项来寻找方程0fx的根.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程0fx的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程0fx的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法.把fx的0x点附近展开泰勒(Taylor）级''20'00002!fxfxfxfxxfxxx；取其线性部分作为非线性方程0fx的近似方程，则有：'0000fxfxxx；设'00fx，则其解为：0'100fxxxfx；再把fx在1x附近展开泰勒(Taylor)级数，也取其现行部分作为0fx的近似方程.若'10fx，则得：1'211fxxxfx；这样，得到牛顿(Newton)法的一个迭代序列：'1nnnnfxxxfx；牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示：洛阳师范学院本科毕业论文2当选取初值0x以后，过00,xfx做fx的切线，其切线方程为：'000yfxfxxx；求此切线方程和x轴的交点，即得：'1000xxfxfx；牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法.例：用牛顿法求下面方程的根32210200fxxxx；解：因'23410fxxx，所以迭代公式为：3221210203410nnxxxxxxx；选取01x计算结果列表：N牛顿法弦位法抛物线法011111.4117647058823531.5000000000000001.50000000000000021.3693364705882351.3544303797468361.25000000000000031.3688081886175321.3682702596546871.36853585772136741.3698081078213751.368810...
