111第五章线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识.2学会用MatLab软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.5.1行列式5.1.1n阶行列式定义由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号D=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnp2p21p1aaa的代数和,各项的符号由n级排列nppp21决定,即D=npppnppp21nnp2p21p1)21(aaa)1(,其中nppp21表示对所有n级排列求和,),,,(21nppp是排列nppp21的逆序数.5.1.2行列式的性质(1)行列式与它的转置行列式相等.(2)互换行列式的两行(列),行列式变号.(3)若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.112(4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.(5)若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(6)若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nnnnninniinnnnninniinnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21'21'22221'112112121222211121121'21'222221'111211(7)若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,2,1(,0,1jknikikiDAaDnjij,或),,2,1(,0,1injkjkjDAaDnikij(9)设A,B是n阶方阵,则TAA,AAnkk,BAAB,(10)若A是n阶可逆矩阵,则0A,AA11(11)设n21,,,是n阶方阵A的特征值,则inA1i,(12)设*A是n阶方阵A的伴随矩阵,则2n*1nAA(13)几种特殊行列式的计算:nnnnaaaaaa22112211000000,nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000,112n12)1(1222111211)1(000nnnnnnaaaaaaaaa1135.1.3MatLab计算行列式的命令det(var)%计算方阵var的行列式例1计算行列式3833262290432231的值在MatLab命令窗口输入:A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3]det(A)执行结果:A=1-322-34092-2623-383ans=-50例2计算行列式dcb100110011001a的值,其中a,b,c,d是参数.在MatLab命令窗口输入:symsabcdA=[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d]det(A)执行结果:A=[a,1,0,0][-1,b,1,0][0,-1,c,1][0,0,-1,d]ans=a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例3求方程0881441221111132xxx的根.114(1)先求行列式的值在MatLab命令窗口输入:symsxA=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3]y=det(A)执行结果:A=[1,1,1,1][1,-2,2,x][1,4,4,x^2][1,-8,8,x^3]y=-12*x^3+48*x+12*x^2-48(2)求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围,在MatLab命令窗口输入:gridonezplot(y)图1观察图1,可知3个根大致在-2,0,4附近,下面求精确值,在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)-6-4-20246-2000-10000100020003000-12x3+48x+12x2-48115g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)执行结果:g1=-2g2=1.0000g3=2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2.5.1.4用MatLab实现克拉默法则(1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111当其系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD时,此方程组有唯一解,且可表示为DDxDDxDDxnn,,,2211其中),,2,1(njDJ是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111对于齐次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa116当其系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD时,此方程组有唯一零解;当D=0时,方程组有非零解.(2)编写函数klm.m实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.functionx=klm(a,b)%参数a代表方程组的系数矩阵,列矩阵b代表方程组的常数列,%返回方程组的解[m,n]=size(a);if(m~=n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!')elsed=det(a);if(d==0)disp('该方程组没有唯一解!')elsedisp('该方程组有唯一解!')fori=1:me=a;e(:,i)=b;f=det(e);x(i)=f/d;endendend例4用克拉默法则解下列方程组:12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx...
