中央广播电视大学2013——2014学年度“开放专科”期末考试微积分初步试题2013年1月一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈函数)2ln()(xxxf的定义域是（C）．C．（-2，-1）∪（-1，+∞）⒉当k=（B）时，函数0,0,1)(2xkxxxf,在0x处连续.B.1⒊下列结论中（D）不正确．D.)(xf在0xx处连续，则一定在0x处可微.⒋下列等式成立的是（A）．A．)(d)(ddxfxxfx⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（C）C.yxyxydd；6.函数xxxxf5)2ln()(的定义域是（D）．D．（2，3）∪（3，5〕7.设xy2lg，则dy=(A)A.dxx10ln18.下列函数在指定区间（-∞，+∞）上单调减少的是（B）．B．x39.若函数xxxxf()(＞0），则dxxf)(（C）．C．cxx10.微分方程0y的通解是（D）D.cy二、填空题（每小题4分，本题共20分）1.函数22)1(2xxxf，则)(xfx2+1．2.若xxx2sinlim0=2．3.曲线21xy在点)1,1(处的切线方程是x+2y-3=0．4.xxsd)in(sinx+c．5.微分方程yxexyyxsin)(4的阶数是3．6.函数24)2(2xxxf，则)(xfx2-2．7.若函数0,0,13sin)(xkxxxxf,在0x处连续，则k1．（09.1）8.曲线xy在点)1,1(处的切线斜率是21．9.xxxxd)2cos(sin21132．10.微分方程xyxyysin4)(653）（的阶数为5．（12.1）三、计算题（本题共44分，每小题11分）1.计算极限329lim223xxxx解：329lim223xxxx=)3)(1()3)(3(lim3xxxxx=13lim3xxx=1333=232.设xxy1sinln，求yd解：xxxxxxy1cos11)1(1cos12yd=dxxxxdxy)1cos11(23.计算不定积分xxxd1cos2解：xxxd1cos2=cxxdx1sin)1(1cos4.计算定积分exdxx1ln解：exdxx1ln=)1(41412121ln212122112exexdxxxeee5.计算极限9152lim223xxxx解：9152lim223xxxx3435lim)3)(3()5)(3(lim33xxxxxxxx6.设xxxy3cos，求yd解：xxy3cos23，xxy3sin32321，dxxxdy)3sin323(7.计算不定积分xxd1210）（解：cxxdxdxx111010)12(221)12()12(21)12(8.计算定积分xxexd10解：1)1(101010eedxexedxxexxx四、应用题（本题16分）1.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知322hx，得232xh，则xxxxxxhxy12832442222令012822xxy，解得x=4是唯一驻点，易知x=4是函数的极小值点，此时有2432h=2，所以当x=4，h=2时用料最省。2.用钢板焊接一个容积为43m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？（期末复习指导P.37四应用题第3题）解：设水箱的底边长为x,高为h,表面积为S，由题意42hx，则24xh，所以xxxhxxS164)(22，2162)(xxxS，令0)(xS，得x=2,因为本题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2,h=1时水箱的面积最小，S(2)=12.此时的费用为：S(2)×10+40=160（元）.
