空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为______．【答案】??3或2??3【解析】解：设平面α的法向量为?????=（1，0，-1），平面β的法向量为???=（0，-1，1），则cos＜?????，???＞=1×0+0×(-1)+(-1)×1√2?√2=-12，∴＜?????，???＞=2??3． 平面α与平面β所成的角与＜?????，???＞相等或互补，∴α与β所成的角为??3或2??3．故答案为：??3或2??3．利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量???可以是______（写出一个即可）【答案】（0，1，-1）【解析】解：?????????=（2，1，1），?????????=（3，-1，-1），设平面α的法向量???=（x，y，z），则{?????????????=2??+??+??=0?????????????=3??-??-??=0，令z=-1，y=1，x=0．∴???=（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量???=（x，y，z），则{?????????????=2??+??+??=0?????????????=3??-??-??=0，解出即可．本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．3.已知?????????=（1，0，2），?????????=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．【答案】（-2，3，1）【解析】解：?????????=（1，0，2），?????????=（2，1，1），设平面ABC的法向量为???=（x，y，z），则{?????????????=0?????????????=0，即{??+2??=02??+??+??=0，取x=-2，则z=1，y=3．∴???=（-2，3，1）．故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC的法向量为???=（x，y，z），则{?????????????=0?????????????=0，解出即可．本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量???与平面ABC垂直，且|???|=√21，则???的坐标为______．【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC的法向量为?????=（x，y，z），则???????????????=0，且???????????????=0， ?????????=（-1，-1，2），?????????=（1，0，2），∴{-??-??+2??=0??+2??=0，即{??=-2????=4??，令z=1，则x=-2，y=4，即?????=（-2，4，1），若向量???与平面ABC垂直，∴向量???∥?????，设???=λ?????=（-2λ，4λ，λ）， |???|=√21，∴√21?|λ|=√21，即|λ|=1，解得λ=±1，∴???的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，????=13????，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．【答案】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又 AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2） PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，√3），B（0，√3，0），C（-2，√3，0）∴???????????=23?????????+13?????????=（-23，√33，2√33），设??1????是平面MBQ的一个法向量，则??1????????????????=0，??1???????????????=0，∴{√3??=0-23??+√33??+2√33??=0，∴??1????=(√3，0，1)，又 ??2????=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，∴cos＜??1????，??2????＞=12，∴二面角M-BQ-C的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小...
