word编辑文档函数防扣)对称性与周期性关系【知识梳理】、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(X+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略)，请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式f(-x)=f(x)奇函数关于(0,0)对称，奇函数有关系式f(x)+f(—x)=0上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y=f(x)关于x=a对称Of(a+x)=f(a-x)f(a+x)=f(a—x)也可以写成f(x)=f(2a—x)或f(—x)=f(2a+x)简证：设点(x)在y=f(x)上,通过f(x)=f(2a—x)可知，y^=f(x)=f(2a—x),即点(2a—x,y)也在y=f(x)上，而点(x,y)与点(2a—x,y)关于x=a对称。得证。111111(a+x)+(b—x)a+b若写成：f(a+x)=f(b—x),函数y=f(x)关于直线x=2=2~对称(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称Of(a+x)+f(a—x)=2b上述关系也可以写成f(2a+x)+f(—x)=2b或f(2a—x)+f(x)=2b简证：设点(x,yi)在y=f(x)上,即y^=f(x),通过f(2a—x)+f(x)=2b可知，f(2a—x)+f(x)=2b,所以f(2a—x)=2b—f(x)=2b—y,所以点(2a—x,2b—y)也1111111在y=f(x)上，而点(2a—x,2b—y)与(x,y)关于(a,b)对称。得证。1111a+bc若写成：f(a+x)+f(b—x)=c,函数y=f(x)关于点(巧迈)对称(3)函数y=f(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于y=b对称，比如圆c(x,y)=x2+y2—4=0它会关于y=0对称。4、周期性：2word编辑文档(1)函数y=f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T2Aword编辑文档CD其他情11f(x+T)=-f(x)B、f(x+T)=帀或f(x+T)=-芮f(x+T-)=1+f(x)或f(x+2)=1黒(等式右边加负号亦成立)21-f(x)21+f(x)(2)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),则可推f(x)=f(2a-x)=f[b+(2a-x-b)]=f[b-(2a-x-b)]=f[x+2(b-a)]即可以得y=f(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,函数一定是周期函数”T(3)如果奇函数满足f(x+T)=-f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为x=2+2kT(kez)，根据f(x)=f(x+2T)可以找出其对称中心为(kT,O)(kez)(以上T丰0)。如果偶T函数满足f(x+T)=-f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为(—+2kT,0)(kez)，2根据f(x)=f(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kez)(以上T丰0)⑷如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)("0)，则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(丫丰0)，则函数y=f(x)是以2T为周期的周期性函数。二、两个函数的图象对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x)，即它们关于y=0对称。2、y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(-x)，即它们关于x=0对称。3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(2a-x)，即它们关于x=a对称。4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(x)=2a，即它们关于y=a对称。5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(2a-x)=2b，即它们关于点(a,b)对称。a+b6、y=f(a-x)与y=(x-b)关于直线x=—对称。推论,由―+0=/(word编辑文档显【典型例题】1.定义在R上的函数了0）,若总有和沙"=对成立，则函数/仗）的图象是关于直线x=a成轴对称图形。反之，若函数了匚）的图象关于直线x=a成轴对称图形，则必有孑奴+x）二了仏-刃_区+h推论，对于定义在R上的函数，若有八m，则了〔对图象关于直线”—丁成轴对称图形，反之亦真。证明：若对心，总有jgu：、，设点gn，在m）的图象上，点mg）关于x=a的对称点（加-心』（心）），由二了【口-仪-观）］二汽尬+仮-吗）］二了（加-心），则点（加一心了（心））在函数y=fe的图象上，由忑的任意性知/㈤的图象关于直线怎二住对称，反之...
