高等代数与几何分析的深度联系 应用数学专业VIP专享VIP免费

高等代数与几何分析的深度联系摘要：高等代数所讨论的是从具体到抽象，从特殊到一般，培养的是逻辑思维能力。解析几何是用代数方法解决几何问题。从两门课的内容上看有很多重复的内容，向量空间、向量、向量的线性运算、线性相关性、欧氏空间、内积、向量的坐标、坐标变换、线性变换、特征方程、特征根、正交变换等。高等代数有深刻的几何背景，而解析几何是用代数方法解决几何问题。高等代数中的向量空间是解析几何中三维向量空间的推。解析几何为高等代数提供了一个直观的、实实在在的模型和背景。文中从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系四个方面对《高等代数》与《解析几何》相通性进行了阐述。关键词：行列式;线性方程组;二次曲线;二次曲面;向量;矩阵引言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更加的直观。同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽.比如说通过解析几何中的多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使得行列式有了几何意义，同时使行列式直观化。也使通过行列式多元方程组的解答更便捷、快速。在高等代数中先后提出了线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化.欧式空间在线性空间的基础上提出了内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化等等.总体来说解析几何就是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广化并使之抽象化。《解析几何》与《高等代数》是不可分割的，《解析几何》是以《高等代数》的知识为主要研究工具的一门学科，没有《高等代数》这个主要工具，就没有《解析几何》这门学科;代数中讨论的很多对象是以几何为背景，又进一步推广出来的，尽管《高等代数》比较抽象，但是可以利用鲜明的几何背景使其更易于理解。高等代数中的主要研究对象—矩阵，就是几何中的线性变换产生的。例如，高等代数中正交矩阵来自于正交变换，我们如果把它想象成坐标系绕原点的旋转就很容易理解了。相比较而言二次型算是高等代数中比较容易的内容，而在解析几何中二次曲面的研究学生学起来却颇有难度，实际上二次型就是二次曲面的代数表达式，我们对二次曲面化简的过程就是计算二次型的标准型的过程。但是在实际的学习过程中这两部分却无法联系起来，因为这两部分内容分别安排在两个学期。另外，行列式的计算是在学习高等代数时最早掌握的也是最熟练的。判断三个向量是否共面是解析几何中我们必须掌握的内容。我们就是利用三个向量的行列式是否为零来判断的。一、课题背景及相关概念（一）相关概念高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。（二）课题背景代数学的历史告诉人们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，中国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的<缉古算经>就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的<数书九章>这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学...