【创新设计】-版高中数学1.2.3.2直线与平面垂直同步训练苏教版必修21．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．①a⊂α，b⊂α②a⊂α，b∥α③a⊥α，b⊥α④a⊂α，b⊥α解析对于①，当a与b是异面直线时，①错误；对于②，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，②正确；对于③，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，故③错误；对于④，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，④错误．答案②2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是______________．解析如图所示，取BD中点M，连结AM，CMAB＝AD⇒BD⊥AMBC＝CD⇒BD⊥CM于是⇒AC⊥BD又显然AC，BD不在同一平面内．答案垂直但不相交3．BC是直角△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP；连PB，PC，过P作PD⊥CD于D，连AD，则图中直角三角形的个数是________个．解析△PAB，△PAD，△PAC，△PBD，△PCD，△ABD，△ACD，△ABC，为直角三角形．答案84．设a、b是异面直线，下列命题：①过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交②过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直③过a一定可作一个平面与b垂直④过a一定可作一个平面与b平行其中正确的是________(填序号)．解析①不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在．③不正确，只有a、b垂直时才能作出满足条件的平面．答案④5．已知m、n是异面直线，m∥平面α，n∥平面α，且直线l⊥m，l⊥n，则l与α的位置关系是________．解析由m∥α，n∥α，则α中必有两相交直线m′∥m，n′∥n，∴l⊥m′，l⊥n′，故l⊥α.答案垂直6．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：AB1⊥CA1.证明如图，延长B1C1到D，使C1D＝BC，连接CD、A1D， BC∥C1D，∴C1DCB为平行四边形，∴BC1綉CD. AB1⊥BC1，∴AB1⊥CD.在△A1B1D中， B1C1＝A1C1＝C1D，∴∠B1A1D＝90°，即A1D⊥A1B1. AA1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C，∴A1A⊥A1D，∴A1D⊥平面A1B1BA，∴A1D⊥AB1. AB1⊥CD，∴AB1⊥平面A1CD，∴AB1⊥A1C.7．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，那么PA与对角线BD的位置关系是______________．解析如图所示⇒PA⊥BD显然PA，BD不相交．答案异面垂直8．有四个命题：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．③如果一条直线不垂直于一个平面，则这条直线就不垂直于这个平面内的任何直线．④如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线有可能不垂直于这个平面内的某一条直线．其中错误命题的个数是________．解析命题①“”中的无数条直线和命题②“”中的两条直线如果平行，则已知直线就不可能与所给平面垂直，所以命题①与②都是错误的．对于命题③，以直角三角形为例，它的一条直角边所在直线不垂直于这个三角形所在平面，但这条直角边和这个平面内的另一条直角边垂直，所以命题③不正确．对于命题④，与线面垂直的定义相矛盾，它也不成立，综上可知四个命题均不正确．答案49．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a. PM⊥BC，∴PM＝＝a.连接PG并延长与AD相交于N点，则PN＝a，MN＝AB＝a.∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN. PM⊥AD，∴PM⊥面PAD，∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案无数10．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD.则a＝________.解析由于PQ⊥QD，PA⊥平面ABCD，则有DQ⊥AQ.因此以AD为直径的圆与BC相切时满足题意，此时BC＝2AB＝2.答案211．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和BC的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面B1EF？若能，试确定点M的位置；若不能，说明理由．解能，M为DD1的中点．如图，取DD1的中点M，AA1的中点P，CC1的中点Q.连接MP、MQ、BP、BQ，易证得MP⊥平面ABB1A1，∴MP⊥B1E.又由Rt△ABP△BB1E可得BP⊥B1E.∴B1E⊥平面MBP，∴B1E⊥MB.同理可得BM⊥B1F.又B1E∩B1F＝B1，∴BM⊥平...
