第一讲坐标系第一节平面直角坐标系一、选择题1．已知▱ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D的坐标是()．A．(9，－1)B．(－3，1)C．(1，3)D．(2，2)解析由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x，y)，则即∴，故D(1，3)．答案C2．把函数y＝sin2x的图象变成y＝sin的图象的变换是()．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移解析设y′＝sin2，变换公式为将其代入y′＝sin2，得μy＝sin2，∴μ＝1，λ＝－，∴由函数y＝sin2x的图象得到y＝sin的图象所作的变换为，故是向左平移个单位．答案A3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋4y′2＝1，则曲线C的方程为()．A．25x2＋36y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．10x＋24y＝1D.x2＋y2＝1解析将代入x′2＋4y′2＝1，得25x2＋36y2＝1，为所求曲线C的方程．答案A4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()．A.B.C.D.解析设代入第二个方程y′＝sinx′得uy＝sinλx，即y＝sinλx，比较系数可得.答案B二、填空题5．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为____________________________．解析∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6>4.∴A点轨迹为椭圆除去长轴两项两点，且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．答案＋＝1(y≠0)6．在平面直角坐标系中，方程x2＋y2＝1所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是____________．解析代入公式，比较可得＋＝1.答案＋＝17．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋9y′2＝9，则曲线C的方程是__________．答案x2＋y2＝18．在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin3x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是____________________________．答案三、解答题9．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．解(代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①M分AB的比为.∴⇒②将②式代入①式，化简为＋＝1.10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：后，曲线C变为曲线x′2－9y′2＝9，求曲线C的方程．解直接代入得曲线C的方程为x2－y2＝1.11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y＝tanx得到曲线y＝3tan2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．解y＝tanx的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan2x.设y′＝3tan2x′，变换公式为.将其代入y′＝3tan2x′得，∴.
