2.3.2离散型随机变量的方差双基达标限时20分钟1．已知ξ的分布列为：ξ1234P则D(ξ)的值为()．A.B.C.D.解析E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.故选C.答案C2．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为()．A．100，0.8B．20，0.4C．10，0.2D．10，0.8解析由题意可得解得q＝0.8，p＝0.2，n＝10.答案C3．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于()．A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．∴故选D.答案D4．下列说法正确的是________．①离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)均为数值；②离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平，而它的方差D(X)反映X取值的离散程度；③离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)均非负；④离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)，若存在，则唯一；⑤人们常用来反映数据X1，X2…，，Xn的变化特征的量是方差．解析由离散型随机变量均值和方差的意义可知②、⑤正确；由E(X)＝(xi－E(X))2·pi可知①④正确，③错误．答案①②④⑤5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机____________的质量较好．解析均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．答案乙6．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：ξ－101P1－2qq2试求E(ξ)、D(ξ)．解由于离散型随机变量的分布列满足：(1)pi≥0(i＝1，2…，)；(2)p1＋p2…＋＝1.故解之得q＝1－.故ξ的分布列为：ξ－101P－1－∴E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝1－，D(ξ)＝[－1－(1－)]2×＋×＋[1－(1－)]2×＝－1.综合提高(限时25分钟)7．(·东莞高二检测)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2…，，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()．A．8B．12C.D．16解析由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.又D(ξ)＝n××＝×36＝8.答案A8．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D(X)等于()．A.B.C.D.解析X取0，1，2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，∴E(X)＝，D(X)＝.答案A9．若随机变量ξ的分布列如下：ξ01xPp且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝________．解析由分布列性质得p＝1－＝，E(ξ)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2，∴D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.答案0.4910．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．解析记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，依题意知：ξ～B(25，0.8)．所以E(ξ)＝25×0.8＝20，D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.答案806411．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，(1)求巧合数ξ的分布列．(2)求巧合数ξ的期望与方差．解(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝5)＝，ξ01235P(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.12．(创新拓展)设在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数．(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差．解(1)ξ的可能取值为0，1，2，ξ＝0表示没有取出次品，故P(ξ＝0)＝＝.ξ＝1表示取出的3个产品中恰有1个次品，所以p(ξ＝1)＝＝.同理P(ξ＝2)＝＝.所以，ξ的分布列为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝×＋×＋×＝.(2)η的取值可以是1，2，3，且有ξ＋η＝3.∴P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝，所以，η的分布列为η123PE(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－＝，D(η)＝D(3－ξ)＝(－1)2×D(ξ)＝.
