§1归纳与类比1．1归纳推理1．把1,3,6,10,15,21…，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()．A．27B．28C．29D．30解析第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4…＋＋n＝(个)．由此可以得出第七个三角形点数是28.答案B2．根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于()．1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝11111；12345×9＋6＝111111.A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113答案B3．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应图①②③④中的图形：则下列图形中可以表示A*D、A*C的分别是()．A．(1)(2)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(1)(4)解析注意观察、分析、辨别，找到A、B、C、D分别对应的图形，A为竖线，B为大正方形，C为横线，D为小正方形．答案C4．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b都成立的条件不等式：________.解析各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.答案当a＋b＝20时，有＋＜2，a、b∈R＋5．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)…，，概括出第n个式子为________．答案1－4＋9－16…＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋16．已知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42…，根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论．解注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1…，又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42…；由此总结出一般结论：1＋3＋5＋7…＋＋(2n－1)＝n2.7．n个连续自然数按规律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2002到2004，箭头的方向依次为()．A↓→．B→↑．C↑→．D→↓．解析由前几项可归纳出4n－44n－1→↓↑4n－3→4n－2则n≥1，n∈N*2002＝4n－2，n＝501∴2003→2004↑2002答案C8．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈(N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为()．A．Sn＝2nB．Sn＝4nC．Sn＝2nD．Sn＝4n－4解析由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4.答案D9．将全体正整数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．解析前n－1行共有正整数1＋2…＋＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案10．已知f(n)＝1…＋＋＋＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此可推测当n＞2时，一般性的结论为________．解析上述不等式左边的变量都是2n，右边都是，因此一般性的结论为f(2n)＞.答案f(2n)＞11．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°…＝，.解观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度依次相差60°，等式的右边都是常数，由此可得出一般结论：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.12．(创新拓展)设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12…，.将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求a100.解(1)将前三行各数分别写成2t＋2s的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3…个数，故前13行共有1＋2＋3…＋＋13＝91个数．因此，a100应当是第14行中的第9个数．所以a100＝214＋28＝16640.
