§3综合法与分析法3.2分析法1．在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析tanA·tanB＞1，∴tanA＞0，tanB＞0，∴A、B为锐角，又tan(A＋B)＝＜0，∴A＋B＞，∴C＜，∴△ABC是锐角三角形，故选A.答案A2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若关于x的不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，则关于x的不等式f(x＋1)≤0的解集为()．A．[2,3]B．(∞－，2]∪[3∞，＋)C．[－2，－1]D．(∞－，－2]∪[－1∞，＋)解析将函数y＝f(x－1)的图像向左平移2个单位得到函数y＝f(x＋1)的图像，不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，所以y＝f(x－1)的图像是开口向下的拋物线，与x轴的交点为(0,0)，(1,0)．不等式f(x＋1)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1∞，＋)，故选D.答案D3．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，则()．A．p＞qB．p＜qC．p≥qD．p≤q解析p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，q＝2－(a－2)2＋2，∵a＞2，∴－(a－2)2＋2＜2，∴q＜22＝4，∴p＞q.答案A4“”“．等式＝的证明过程等式两边同时乘以得，左边＝·＝＝＝1，右边＝1，左边＝右边，”故原等式成立应用了________的证明方法．(“”“填综合法或分析”法)答案综合法5．在同一平面内，已知OP1＋OP2＋OP3＝0，且|OP1|＝|OP2|＝|OP3|，则△P1P2P3的形状是________．解析因为|OP1|＝|OP2|＝|OP3|，三个向量在同一平面内，且OP1＋OP2＋OP3＝0，所以三个向量间两两所成角相等，如图所示，顺次连结P1，P2，P3，得P1P2＝P1P3＝P2P3，所以三角形P1P2P3为等边三角形．答案等边三角形6．用分析法证明：当x＞0时，sinx＜x.证明设f(x)＝sinx－x，则f(0)＝0，当x＞0时，要证sinx＜x，即证f(x)＝sinx－x＜0，即f(x)＜f(0)，即证f′(x)≤0，即f′(x)＝cosx－1≤0，显然当x＞0时，f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，于是问题得证．7．设0＜x＜1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是()．A．aB．bC．cD．不能确定解析易得1＋x＞2＞.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2＜1，又0＜x＜1，即1－x＞0，∴1＋x＜.答案C8．如果正数a、b、c、d满足a＋b＝cd＝4，那么()．A．ab≤c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值不唯一解析ab≤2＝4,4＝cd≤2，∴2≤，∴c＋d≥4，故ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时等号成立．答案A9．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．解析由x－2y＋3z＝0得y≥＝，则＝＝3，当且仅当x＝3z时等号成立．答案310．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．解析因为x∈(1,2)，所以x2＋mx＋4＜0⇔m＜－x－.因为y＝－在(1,2)上单调递增，所以－∈(－5，－4)，所以m≤－5.答案m≤－511．若a，b∈(0∞，＋)，且2c＞a＋b，求证：c－＜a＜c＋.证明要证c－＜a＜c＋⇐－＜a－c＜⇐|a－c|＜⇐(a－c)2＜c2－ab⇐a2－2ac＋ab＜0⇐a(a＋b－2c)＜0.而a＞0，即需证a＋b－2c＜0⇐a＋b＜2c，已知．∴c－＜a＜c＋.12．(创新拓展)函数f(x)＝ax2＋2(b＋1)x，g(x)＝2x－c，其中a＞b＞c，且a＋b＋c＝0.(1)求证：＜＜；(2)求证：f(x)，g(x)的图像总有两个不同的交点；(3)设f(x)，g(x)的图像有两个交点A、B，求证：＜|AB|＜2.(1)证明因a－c＞0，欲证＜＜，只需证a－c＜3a＜2a－2c.由a＞b＞c，a＋b＋c＝0，得进而可推出a－c＜3a＜2a－2c成立．所以原不等式得证．(2)证明由消去y，得ax2＋2bx＋c＝0①由a＋b＋c＝0得Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝42＋3c2＞0.故f(x)，g(x)的图像总有两个不同的交点．(3)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)对于①式，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.又y1＝2x1－c，y2＝2x2－c，a＋b＋c＝0.∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1－x2)2＋[(2x1－c)－(2x2－c)]2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(1＋22)×＝20.∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴1＞＞.∴＝－1－＜－1－，即＜－，又＝－1－＞－1－1＝－2，∴－2＜＜－.∴15＜|AB|2＜60.故＜|AB|＜2.
