§3综合法与分析法3.2分析法1.在△ABC中,tanA·tanB>1,则△ABC是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析tanA·tanB>1,∴tanA>0,tanB>0,∴A、B为锐角,又tan(A+B)=<0,∴A+B>,∴C<,∴△ABC是锐角三角形,故选A.答案A2.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若关于x的不等式f(x-1)≥0的解集为[0,1],则关于x的不等式f(x+1)≤0的解集为().A.[2,3]B.(∞-,2]∪[3∞,+)C.[-2,-1]D.(∞-,-2]∪[-1∞,+)解析将函数y=f(x-1)的图像向左平移2个单位得到函数y=f(x+1)的图像,不等式f(x-1)≥0的解集为[0,1],所以y=f(x-1)的图像是开口向下的拋物线,与x轴的交点为(0,0),(1,0).不等式f(x+1)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1∞,+),故选D.答案D3.已知p=a+(a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则().A.p>qB.p<qC.p≥qD.p≤q解析p=a-2++2≥2+2=4,q=2-(a-2)2+2,∵a>2,∴-(a-2)2+2<2,∴q<22=4,∴p>q.答案A4“”“.等式=的证明过程等式两边同时乘以得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,”故原等式成立应用了________的证明方法.(“”“填综合法或分析”法)答案综合法5.在同一平面内,已知OP1+OP2+OP3=0,且|OP1|=|OP2|=|OP3|,则△P1P2P3的形状是________.解析因为|OP1|=|OP2|=|OP3|,三个向量在同一平面内,且OP1+OP2+OP3=0,所以三个向量间两两所成角相等,如图所示,顺次连结P1,P2,P3,得P1P2=P1P3=P2P3,所以三角形P1P2P3为等边三角形.答案等边三角形6.用分析法证明:当x>0时,sinx<x.证明设f(x)=sinx-x,则f(0)=0,当x>0时,要证sinx<x,即证f(x)=sinx-x<0,即f(x)<f(0),即证f′(x)≤0,即f′(x)=cosx-1≤0,显然当x>0时,f′(x)=cosx-1≤0恒成立,于是问题得证.7.设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是().A.aB.bC.cD.不能确定解析易得1+x>2>.∵(1+x)(1-x)=1-x2<1,又0<x<1,即1-x>0,∴1+x<.答案C8.如果正数a、b、c、d满足a+b=cd=4,那么().A.ab≤c+d,且等号成立时,a、b、c、d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时,a、b、c、d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时,a、b、c、d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时,a、b、c、d的取值不唯一解析ab≤2=4,4=cd≤2,∴2≤,∴c+d≥4,故ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时等号成立.答案A9.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值为________.解析由x-2y+3z=0得y≥=,则==3,当且仅当x=3z时等号成立.答案310.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.解析因为x∈(1,2),所以x2+mx+4<0⇔m<-x-.因为y=-在(1,2)上单调递增,所以-∈(-5,-4),所以m≤-5.答案m≤-511.若a,b∈(0∞,+),且2c>a+b,求证:c-<a<c+.证明要证c-<a<c+⇐-<a-c<⇐|a-c|<⇐(a-c)2<c2-ab⇐a2-2ac+ab<0⇐a(a+b-2c)<0.而a>0,即需证a+b-2c<0⇐a+b<2c,已知.∴c-<a<c+.12.(创新拓展)函数f(x)=ax2+2(b+1)x,g(x)=2x-c,其中a>b>c,且a+b+c=0.(1)求证:<<;(2)求证:f(x),g(x)的图像总有两个不同的交点;(3)设f(x),g(x)的图像有两个交点A、B,求证:<|AB|<2.(1)证明因a-c>0,欲证<<,只需证a-c<3a<2a-2c.由a>b>c,a+b+c=0,得进而可推出a-c<3a<2a-2c成立.所以原不等式得证.(2)证明由消去y,得ax2+2bx+c=0①由a+b+c=0得Δ=4b2-4ac=4(a+c)2-4ac=42+3c2>0.故f(x),g(x)的图像总有两个不同的交点.(3)证明设A(x1,y1),B(x2,y2)对于①式,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=.又y1=2x1-c,y2=2x2-c,a+b+c=0.∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+[(2x1-c)-(2x2-c)]2=(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+22)×=20.∵a>b>c,a+b+c=0,∴1>>.∴=-1-<-1-,即<-,又=-1->-1-1=-2,∴-2<<-.∴15<|AB|2<60.故<|AB|<2.