§1数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展1．下列结论错误的是()．A．自然数集是非负整数集B．实数集与复数集的交集是实数集C．实数集与虚数集的交集是{0}D．纯虚数集与实数集的交集为空集答案C2．(1＋)i的实部与虚部分别是()．A．1，B．1＋，0C．0,1＋D．0，(1＋)i解析(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋.答案C3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是()．A．a＝0B．a＝0且b≠0C．a≠0且b＝0D．a≠0且b≠0解析纯虚数的概念：当a＝0，b≠0时，复数z＝a＋bi＝bi叫做纯虚数．本题利用它进行正确的选择，对照各选项，知z为纯虚数的必要不充分条件是a＝0.答案A4．实数a＝____时，等式a2＋(m＋2i)a＋(2＋mi)＝0(m∈R)成立．解析a，m∈R，原等式即a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，∴∴∴a＝±.答案±5．若复数z满足z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则m＝________.解析∵z为纯虚数，m∈R，∴m＝2.答案26．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值．解因为z＞0，所以z∈R，所以x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.因为z＞0，所以－x＞0.将x＝1代入，满足；将x＝3代入，不满足．所以x＝1.7．若复数z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，实数x的值为()．A．－1B．0C．1D．－1或1解析∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.答案A8．有下列四个命题：①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两个解，在C中也有两个解．其中正确命题有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由数系扩充的意义和虚数单位i，易判断④是错误的，因为(±i)4＝1.答案C9．若复数＋(n2－8n＋15)i为实数，则n的值为__________．解析由可得n＝5.答案510．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a、b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数，其中假命题的序号是________．解析①中在实数集内成立；②中两复数不能比较大小；③中举反例a＝－1.答案①②③11．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，求实数m的值．解∵M∩N＝{3}，N＝{－1,3}，∴3∈M，且－1∈/M.必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3.由复数相等的定义，得解得m＝－1.12．(创新拓展)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．解设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即－1－3i＋a＋bi＝0.则⇒∴z＝－4＋3i.∴＝＝＝3＋4i.
