§2复数的四则运算2．1复数的加法与减法1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()．A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析由z1＋z2＝0，得解得故选D.答案D2．设向量OP、PQ、OQ对应的复数分别为z1，z2，z3，那么()．A．z1＋z2＋z3＝0B．z1－z2－z3＝0C．z1－z2＋z3＝0D．z1＋z2－z3＝0解析∵OP＋PQ－OQ＝OQ－OQ＝0.∴z1＋z2－z3＝0.答案D3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC表示的复数为()．A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2i解析BC＝OC－OB＝OC－(AB＋OA)＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)．答案C4．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝______.解析∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，∴a2＝12，∴a＝±2，∴z＝±2－2i.答案±2－2i5．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，z1、z2在复平面上所对应的点分别为Z1、Z2，则这两点之间的距离为__________．解析由复平面内两点间的距离公式可得．答案6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y，∈R)，设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.解z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，且x，y∈R.∴解得∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.7．向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是()．A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i解析OZ1＋OZ2对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝0.答案C8．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析cosθ＋sinθ＝sin，θ∈，θ＋∈，sin＜0，cosθ＋sinθ＜0，sinθ－cosθ＝sin，θ－∈，sin＞0，sinθ－cosθ＞0.∴复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在第二象限．答案B9．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m＝________.解析z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i.∵z1－z2＝0，∴∴m＝－1.答案－110．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝______.解析令z＝0，则f(z＋i)＝f(i)＝－2i.答案－2i11．已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1，OZ2(O为原点)，若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值．解Z1Z2对应的复数为z2－z1，则z2－z1＝a－1＋(a2＋2a－1)i－[a2－3＋(a＋5)i]＝(a－a2＋2)＋(a2＋a－6)i.由题意得z2－z1是纯虚数，所以解得a＝－1.12．(创新拓展)已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求动点(x，y)的轨迹方程；(2)若方程有实根，求方程的实根的取值范围．解(1)设方程的一个实根为t0，则t＋(2＋i)t0＋2xy＋(x－y)i＝0，即(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0，根据复数相等的充要条件得由②得t0＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2③，所以所求的点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．(2)由③得圆心为(1，－1)，半径r＝，由题意，知直线x－y＋t＝0与≤该圆有公共点，则，即|t＋2|≤2，所以－4≤t≤0.故方程的实根的取值范围为[－4,0]．
