§2复数的四则运算2．2复数的乘法与除法1．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值是()．A．x＝3且y＝3B．x＝5且y＝1C．x＝－1且y＝－1D．x＝－1且y＝1解析x－2＋yi与3x－i互为共轭复数，则即x＝－1，且y＝1.答案D2．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i，且z1·是实数，则实数x等于()．A．2B．1C．－1D．－2解析z1·＝(1＋i)(x－2i)＝(x＋2)＋(x－2)i.因为z1·是实数，所以x－2＝0，所以x＝2.答案A3.等于()．A.iB．－iC．iD．－i解析＝＝i.答案A4．已知复数z1＝1－i，z1·z2＝1＋i，则复数z2＝______.解析因为z1＝1－i，z1·z2＝1＋i所以z2＝＝＝i.答案i5．设z2＝z1－i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为______．解析设z1＝a＋bi，(a，b∈R)则z2＝z1－i＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.故填1.答案16．若∈R，求z应满足的条件．解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝∈R，所以b－a2b－b3＝0，即b(a2＋b2－1)＝0，所以b＝0或a2＋b2＝1.所以z应满足的条件为z∈R或|z|2＝1.7．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于()．A．2B．1C．0D．－1解析∵(a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝－2a＋(a2－1)i，又(a＋i)2i为正实数，所以∴a＝－1.答案D8．已知复数z＝1－i，则＝()．A．2iB．－2iC．2D．－2解析∵z＝1－i，∴z2－2z＝(1－i)2－2(1－i)＝－2i－2＋2i＝－2.又z－1＝－i，∴＝－＝－2i.答案B9．设复数z＝3＋2i，z和在复平面内对应的点分别为A和B，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析由题意及复数的几何意义可知点A(3,2)，B(3，－2)关于实轴(x轴)对称，所以△AOB为等腰三角形，易得底边长为4，底边上的高为3，所以S△AOB＝×4×3＝6.答案610．下面四个命题：①0—比i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中错误的命题序号是________．解析①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有说明x，y是否为实数；④当a＝0时，没有纯虚数和它对应．答案①②③④11．已知复数z1＝5＋i，z2＝i－3，且＝＋，求复数z.解由已知得：＝5－i，＝－3－i，∴＝＋＝(5－i)＋(－3－i)＝2－2i，∴z＝＝()＝＋i.12．(创新拓展)是否存在实数x，使得(x＋i)3＝log成立？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．解存在．因为(x＋i)3＝log＝－8，所以3＝1，所以＝1，ω，.若x＋i＝－2，则x∉R；若x＋i＝－2ω＝1－i，则x∉R；若x＋i＝－2＝1＋i，则x＝1.综上，实数x存在且x＝1.
