【创新设计】届高考数学2-4弦切角的性质知能演练新人教A版选修4-1一、选择题1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于()．A．40°B．55°C．65°D．70°解析∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.答案B2．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()．A．2B．3C．2D．4解析连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2.答案C3．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为()．A．40°B．100°C．120°D．30°解析∵AP是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，即∠BAC所对的弧为120°.答案C4．如图所示，AB是⊙O直径，直线EF切⊙O于B，C、D为⊙O上的点，∠CBE＝40°，＝，则∠BCD的度数是()．A．110°B．115°C．120°D．135°解析由AB⊥EF得∠ABC＝90°－∠CBE＝50°，∴=====2∠ABC＝100°，又＝，∴=====50°，∴∠BCD＝(180°＋50°)＝115°.答案B二、填空题5．如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．解析弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．答案∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB6．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且、为圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.解析弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．答案45°135°45°90°7．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝∠BOC＝50°.答案50°8．如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．解析∵∠BAC＝∠AOB，∴∠AOB＝2×25°＝50°，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°.答案65°三、解答题9．如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.10．如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，∠C＝130°，AD是⊙O的直径，过B作⊙O的切线FE，求∠ABE的度数．解因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠C＝130°，所以∠A＝50°.连接OB，则∠ABO＝50°，所以∠AOB＝80°.又因为∠ABF＝∠AOB＝40°，所以∠ABE＝180°－∠ABF＝180°－40°＝140°，即∠ABE＝140°.11．(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6cm，BC＝4cm，求AE的长．(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)解因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝cm.
