【创新设计】届高考数学2-3-3~4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质配套训练新人教A版必修21．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.答案D2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()．A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案A3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()．A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能解析由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.答案A4．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b;②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.解析由线面垂直的性质定理知①④正确．答案25．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心．答案垂6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中不一定成立的是()．A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.答案D8．(·镇海高一检测)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()．A．①②B．①③C．②③D．③④解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A、C，故选B.答案B9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角．答案①②④10．如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.解析取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.答案211．(·嘉兴高一检测)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．12．(创新拓展)在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?(1)证明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，∴BD＝，AB＝tan60°＝.AC＝＝，由AB2＝AE·AC得AE＝，∴λ＝＝，故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
