1第四节简谐激励振动理论的应用一、旋转不平衡质量引起的强迫振动（一）运动方程及其解在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。Memt2k2kcxo一个旋转机械的力学模性：设旋转机械总质量为M，转子的偏心质量为m，偏心距为e，转子的转动角速度为。选静平衡位置为坐标原点，坐标x表示机器离开静平衡位置的垂直位移，而偏心质量的位移为sinxet根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程2222()(sin)dxddxMmmxetckxdtdtdt2整理后，得2sinMxcxkxmet（3-18）上式的形式与方程（3-1）相似，只是由2me代替了0F，故前面所有的分析都可适用。设nkM，2ncM，nr则方程（3-18）的稳态响应为()sin()xtXt式中振幅X为222222222222()()1(1)(2)(1)(2)meXkMcmekrrmerMrr显然，相位差为2221crtgkmr可见，偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量me成正比。为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验，使质量分布尽可能均匀。3（二）幅频特性放大因子定义为2222(1)(2)MXrmerr（3-19）以放大因子MXme为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比为参数，画出幅频特性曲线。1.02.03.04.01.02.03.0MXmer00.150.25由曲线可见：1.当0nr时，0MXme，即振幅接近于零。42.当1nr时，1MXme，即振幅趋近于常数，即meXM而与激励频率及阻尼比基本上无关。3.共振发生在2112r即212n时，位于1r的右边，共振振幅为2121meXM当阻尼很小时（0.2），可以认为当1r即n发生共振，共振振幅为2memeXMc5例题：一台惯性式激振器安放在机器正上方，以测定机器的振动特性。激振器有一对带有偏心质量、等速反向旋转的齿轮组成。当旋转角速度ω为时，偏心质量的离心惯性力在水平方向合力为零，在垂直方向合成激振力meω2sinωt，其中m为总的偏心质量，e为偏心距。通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅趋于定值0.32cm。若偏心质量为12.7kg，偏心距为15cm，支承弹簧刚度为k=976.7N/cm。计算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）转速为N=300r/min时机器的垂直振幅。..Mk/2k/2c6解：设机器和激振器的总质量为M。系统的振动微分方程为2sinMxcxkxmet（1）共振时（r=1）的振幅为max1.072meXcmM而r＞＞1（超过共振很远时）时有0.32meXcmM所以阻尼比max0.320.15221.07XX（2）当转速为N=300r/min时，激励频率为2230031.46060N（rad/s）由nkM和meXM，得97.61000.3212.812.715nkXme（rad/s）频率比31.42.4512.8nr则机器的振幅为22222222.450.320.38()(12.45)(20.(1152.45))(2)merXMrmrc7例3-2：桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动，轴的两端由调位轴承支承，轴上无别的零件。空心轴的内径d1为，外径为d2，两支承间距离为l，求轴的临界转速（r/min）。lEI,2m轴的临界转速ncr为:602ncrn。故只要知道梁的固有频率即可求出轴的临界转速ncr。求连续梁第一阶固有频率时，其模型可按如下简化（离散化）：将梁离散为三点：两个端点和一个中点，其中梁的两端端点的质量各为总质量的四分之一，即242mm，中点的质量为总质量的二分之一，即22mm。如图所示。这样处理后，可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁。lEI·/2l/2m··m/2m/2由静变形法，知348ngEIml8式中Δ是梁中点的静变形，由材力知348mglEI9二、基础运动引起的强迫振动在许多情况下，系统受到的激励来自于支承的运动，例如固定在机器上的仪表，汽车在不平的路面行驶时的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动。（一）运动方程及其解ckmxyYtm()kxy()cxy如图所示是受基础激励的振动力学模型。以系统静平衡位置为坐标原点建立坐标系：x----质量块的位移y----基础的位移设基础运动规律为sinyYt由牛顿运动定律，得()()mxkxycxy（3-20）即mxcxkxkycy（a）或也可写成：sincosmxcxkxkYtcYt10利用复指数法求解上式。用jtyYe代换sinyYt，所以jtyjYe，代入式（a），得()jtjtjtmxcxkxkYejcYekjcYe（b）假定方程（b）的解为()jtxtXe（c）式中X----复振幅则()jtxtjXe2()jtxtXe带入方程（b），得2[()]()jtjtkmjcXekjcYe∴2()jtkjcXYXekmjc（d）则实振幅为222222222()()()1(2)(1)(2)kcXXYkmcrYrr（e）相位差11322322()()21(2)mctgkkmcrrr（3-27）故方程（b）...
