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线性代数与解析几何复习考试题VIP免费

线性代数与解析几何复习考试题_第1页
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1/17《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1.设1123123,(1,,),TTBA,,则3___________A.提示:A3=TTTTTTT3)(2.设方阵A满足240,,AAII其中为单位矩阵,1)_____________AI则(.提示:A2+A-4I=0→A2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I→(A-I)(A+2I)/2=I3.设方阵A满足0322IAA,则1A____________.提示:A2-2A-3I=0→A(A-2A)=3I4.设1301113111211111A,则)(Ar.提示:对矩阵A施行初等行变换,非零行的行数即为矩阵A的秩。5.设aaaaaaA111,则当a满足条件时,A可逆.提示:矩阵A的行列式detA≠0时,矩阵可逆。(二)选择题1.设n阶矩阵,,,ABCABCII满足为单位矩阵,则必有()(A)IACB(B)IBCA(C)ICBA(D)IBAC提示:A的逆矩阵为BC2.12321,,0,312QtPQPt已知是三阶非零矩阵且则()()1()1()2()2ABCD提示:P的列为齐次线性方程组Qx=0的解,P非零,Qx=0有非零解,故Q的行列式detQ=03.1112132122232122231112131313233311132123313010,100001aaaaaaAaaaBaaaPaaaaaaaaa设2100010,101P则必有()12211221()()()()AAPPBBAPPBCPPABDPPAB提示:矩阵B由矩阵A经初等行变换得到,故在C或D中选择,P1、P2为初等矩阵,P12/17为交换第1、2行,P2为将第一行的1倍加到第三行,故选C4.设n维向量)21,0,,0,21(,矩阵TTIBIA2,,其中I为n阶单位矩阵,则AB()()0()()()TABICIDI提示:AB=(I-T)(I+2T)=I+TTTI+TT(T)5.A、B则必有且阶矩阵均为,))((,22BABABAn()(A)B=E(B)A=E(C)A=B(D)AB=BA提示:(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6.矩阵)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111AribababababababababababababababababaAii则其中()A、1B、2C、3D、4提示:A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4)(三)计算题1.2101,02010ABIABAIB设,为单位矩阵,求矩阵。1提示:AB-B=A2-I→(A-I)B=A2-I→B=(A-I)-1(A2-I)也可使用矩阵初等行变换。2.利用矩阵的初等变换解线性方程组1234123412341234232633325323334xxxxxxxxxxxxxxxx.提示:对方程组增广矩阵进行初等行变换。3.设矩阵410110003A,XBXAXB求矩阵且满足,2,321163.提示:AX=2X+B→AX-2X=B→(A-2I)X=B→使用矩阵初等行变换。4.若,011111011220111X则X=.提示:使用矩阵初等列变换。(四)证明题1.设BA,都是一个n阶对称矩阵,证明:AB对称的充要条件是BAAB。提示:参见作业上相关内容:3/17AB=BA→AB对称:AB对称→AB=BA2.证明:任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示:参见书上的例子。对称矩阵为B=(A+AT)/2反对称矩阵为C=(A-AT)/23.设n阶方阵A不是单位方阵,且AA2,试证明(1)A是不可逆矩阵(2)IAIA2与均为可逆矩阵,并求逆矩阵.提示:(1)反证法:假设A可逆,则存在A-1,有A-1A=I。因为A2=A,故A-1A2=A-1A,由此得A=I,与题设矛盾.(2)根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。4.设同阶方阵BA,,其中B可逆,且满足022BABA,证明BAA和可逆.提示:A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→[A(A+B)+B2]B-1B-1=0→A(A+B)(B-1)2+I=0→A(A+B)(B-1)2=-I→A可逆,其逆矩阵为-(A+B)(B-1)2A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→B-1B-1[A(A+B)+B2]=0→(B-1)2A(A+B)+I=0→(B-1)2A(A+B)=-I→A+B可逆,其逆矩阵为-(B-1)2A二、行列式部分(一)填空题1.行列式0005002304324321=。提示:4×(-1)1+4×4×(-1)1+3×2×(-1)1+2×52.若4×4阶矩阵A的行列式AA,3是A的伴随矩阵则A=.提示:detA*=(detA)n-13.已知40060852bA是奇异阵,则b_________.提示:奇异矩阵行列式为零。4.设BA,是n阶可逆方矩阵且5A,则1A1/5,3)(AAT56,A25×2n,BABk15k.提示:利用矩阵行列式的性质。5.设ie是四阶单位矩阵的第i列,2124(3,,,)Aeeee,则A.提示:4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。4/176.已知31223137,014D,则333231232221131211AAAAAAAAA,33323132AAA=,其中ijA是元素ija的代数余子式.提示:注意333231232221131211AAAAAAAAA是伴随矩阵转置后的行列式,等于伴随矩阵行列式,故其值为37n-1,此处n=3。33323132AAA表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和,故为0.(二)选择题1.2,2,20,det())ABIAAABIAB设、为三阶矩阵为单位矩阵,det且则(()...

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