1/17《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设1123123,(1,,)，TTBA,，则3___________A.提示：A3=TTTTTTT3)(2．设方阵A满足240,,AAII其中为单位矩阵，1)_____________AI则(.提示：A2+A-4I=0→A2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I→(A-I)(A+2I)/2=I3．设方阵A满足0322IAA，则1A____________.提示：A2-2A-3I=0→A(A-2A)=3I4．设1301113111211111A，则)(Ar.提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。5．设aaaaaaA111，则当a满足条件时，A可逆.提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。(二)选择题1．设n阶矩阵,,,ABCABCII满足为单位矩阵，则必有（）（A）IACB（B）IBCA（C）ICBA（D）IBAC提示：A的逆矩阵为BC2．12321,,0,312QtPQPt已知是三阶非零矩阵且则（）()1()1()2()2ABCD提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=03．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001aaaaaaAaaaBaaaPaaaaaaaaa设2100010,101P则必有（）12211221()()()()AAPPBBAPPBCPPABDPPAB提示：矩阵B由矩阵A经初等行变换得到，故在C或D中选择，P1、P2为初等矩阵，P12/17为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C4．设n维向量)21,0,,0,21(,矩阵TTIBIA2,,其中I为n阶单位矩阵,则AB()()0()()()TABICIDI提示：AB＝(I-T)(I+2T)=I+TTTI+TT(T)5．A、B则必有且阶矩阵均为,))((,22BABABAn（）（A）B=E（B）A=E（C）A=B（D）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111AribababababababababababababababababaAii则其中()A、1B、2C、3D、4提示：A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4)(三)计算题1．2101,02010ABIABAIB设,为单位矩阵,求矩阵。1提示：AB-B=A2-I→(A-I)B=A2-I→B=(A-I)-1(A2-I)也可使用矩阵初等行变换。2．利用矩阵的初等变换解线性方程组1234123412341234232633325323334xxxxxxxxxxxxxxxx.提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。3．设矩阵410110003A，XBXAXB求矩阵且满足,2,321163.提示：AX=2X+B→AX-2X=B→(A-2I)X=B→使用矩阵初等行变换。4．若,011111011220111X则X=.提示：使用矩阵初等列变换。(四)证明题1．设BA,都是一个n阶对称矩阵，证明：AB对称的充要条件是BAAB。提示：参见作业上相关内容：3/17AB=BA→AB对称：AB对称→AB=BA2．证明：任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示：参见书上的例子。对称矩阵为B=(A+AT)/2反对称矩阵为C=(A-AT)/23．设n阶方阵A不是单位方阵，且AA2，试证明(1)A是不可逆矩阵(2)IAIA2与均为可逆矩阵，并求逆矩阵.提示：(1)反证法：假设A可逆，则存在A-1，有A-1A=I。因为A2=A，故A-1A2=A-1A，由此得A=I，与题设矛盾.(2)根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。4．设同阶方阵BA,，其中B可逆，且满足022BABA，证明BAA和可逆.提示：A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→[A(A+B)+B2]B-1B-1=0→A(A+B)(B-1)2+I=0→A(A+B)(B-1)2=-I→A可逆，其逆矩阵为-(A+B)(B-1)2A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→B-1B-1[A(A+B)+B2]=0→(B-1)2A(A+B)+I=0→(B-1)2A(A+B)=-I→A+B可逆，其逆矩阵为-(B-1)2A二、行列式部分(一)填空题1．行列式0005002304324321=。提示：4×(-1)1+4×4×(-1)1+3×2×(-1)1+2×52．若4×4阶矩阵A的行列式AA,3是A的伴随矩阵则A=．提示：detA*=(detA)n-13．已知40060852bA是奇异阵，则b_________.提示：奇异矩阵行列式为零。4．设BA,是n阶可逆方矩阵且5A,则1A1/5,3)(AAT56,A25×2n,BABk15k.提示：利用矩阵行列式的性质。5．设ie是四阶单位矩阵的第i列，2124(3,,,)Aeeee，则A.提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。4/176．已知31223137,014D，则333231232221131211AAAAAAAAA，33323132AAA＝，其中ijA是元素ija的代数余子式.提示：注意333231232221131211AAAAAAAAA是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为37n-1，此处n=3。33323132AAA表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0.（二）选择题1．2,2,20,det())ABIAAABIAB设、为三阶矩阵为单位矩阵,det且则(()...
