第1页共20页线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLMMML1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.ijijinjnAijaAaAaAijL第2页共20页③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnbbAbbbbLMOL④若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1⑤关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaOKNN1⑥范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxxLLLMMML111⑦ab型公式：1[(1)]()nabbbbabbanbabbbabbbbaLLLMMMOML⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系——称为递推公式，其中nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；3.证明0A的方法：第3页共20页①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；⑤、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.记作：ijmnAa或mnA同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为()ijAa.c.矩阵与矩阵相乘：设()ijmsAa,()ijsnBb,则()ijmnCABc，其中12121122(,,,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaabababbLLM注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式00ABBAABA或B=0不成立.第4页共20页a.分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAAb.用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbbabababBabbbabababLLLLLLMMOMMMOMMMOMLLLc.用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaabababbbbaabababBbbbaabababLLLLLLMMOMMMOMMMOMLLLd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：mnmnAAA，()()mnmnAA⑤矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA.a.对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵TAA.A是反对称矩阵TAA.b.分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD⑥伴随矩阵：1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.**AAAAAE,1*nAA,11AA.分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB*(1)(1)mnmnAABBBA第5页共20页2.逆矩阵的求法方阵A可逆0A.①伴随矩阵法1AAA○注：1abdbcdcaadbc1LL主换位副变号②初等变换法1()()AEEAMM初等行变换③分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA1111ACAACBOBOB1111AOAOCBBCAB④1231111213aaaaaa,3211111213aaaaaa⑤配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1ABBAEAB）3.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式ijrr(ijcc)(,)Eij1(,)(,)EijEij(,)Eij1irk(ick)(())Eik11[...
