经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1、如图，△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。思路点拨:点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。解析：过D作DE⊥AB于E。∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD∵BC=24，CD:DB=3:5∴CD=24×=9＝DE即点D到AB的距离是9。总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。举一反三：【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE=CF【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF∴DE=DC在△ADE和△FCD中∴△ADE△FCD(ASA)∴AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)BF=CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF=EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。举一反三：【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1)若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。(2)若D，E不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论。【答案】（1）∵AB=AC,AD=AE∴BE=CD∵DB⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEO=∠CDO=90°在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO∵EO⊥AB,DO⊥AC∴点O在∠A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO在△ABD和△ACE中∴△ABD△ACE∴∠B=∠C∵AB=AC,AD=AE∴EB=CD在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴∠EAO=∠DAO∴O点在∠A的角平分线上类型三、角平分线的综合应用3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE求证：∠BAD=∠DAC+∠C思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再整余下的部分等于另一个角。解析：过C做CF⊥BE，交BE的延长线于F∵AD⊥BE，CF⊥BE∴AD//CF∴∠DAC=∠FCA即∠FCB=∠ACB+∠DAC在Rt△BCF中∠FCB=90°-∠EBC在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠ABE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC∴∠FCB=∠BAD=∠DAC+∠C总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。举一反三：【变式】在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°【答案】过Ｄ做AB、BC所在直线的垂线，垂足分别是E、F∵BD平分∠ABC∴DE=DF又∵AD=CD∴△AED△CDF（HL）∴∠C=∠DAE又∵∠BAD+∠DAE=180°∴∠C+∠BAD=180°
