实用标准文案文档实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩1实验目的（1）掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法（2）使用C++实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换（3）掌握数据滤波的基本原理和方法（4）掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价2实验步骤2.1算法原理2.1.1Haar小波变换（1）平均，细节及压缩原理设{x1，x2}是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为(12)/2axx，(12)/2dxx。则可以将{a，d}作为原信号的一种表示，且信号可由{a，d}恢复，1xad，2xad。由上述可以看出，当x1，x2非常接近时，d会很小。此时，{x1，x2}可以近似的用{a}来表示，由此实现了信号的压缩。重构的信号为{a，a}，误差信号为{|1|,|2|}{||,||}xaxadd。因此，平均值a可以看做是原信号的整体信息，而d可以看成是原信号的细节信息。用{a}近似的表示原信号，可以实现对原信号的压缩，而且丢失的细节对于最终信号的重构不会有重大影响。对于多元素的信号，可以看成是对于二元信号的一种推广。（2）尺度函数和小波方程在小波分析中，引入记号[1,0)()()tXt，其中，[1,0)()Xt表示区间[1，0]上的特征函数。定义,()(2),0,1,...,21jjjkttkk称()t为Haar尺度函数。由上式可知，,()jkt都可以由0,0()t伸缩和平移得到。小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下：实用标准文案文档[0,1/2)[1/2,1)1,01/2()()()1,1/210,ttXtXtt其他则()(2)(21)ttt。()t称为Haar小波。1,01,1()()()ttt称为两尺度方程，1,01,1()()()ttt称为小波方程。（3）Haar小波变换计算方法设122{,...}nxxx是一个长度为2n(n>1)的离散信号序列，记为,0,1,21{,...}nnnnaaa，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：,0,0,21,21()()...()nnnnnnftatat一次小波分解的结果：11111,01,01,01,01,211,211,211,21()()...()()...()nnnnnnnnnnnnftatatdtdt对上式积分，由尺度函数的正交性，可得11,1,0()()nknkfttdta。令k=0，得到1,0,0,1()/2nnnaaa。一般的，有11,,2,21()/2,0,1,...21nnknknkaaak同理11,,2,21()/2,0,1,...21nnknknkdaak2.1.2傅里叶变换（1）一维连续函数的傅里叶变换定义设f(t)为连续的时间信号，则定义2()()jutFuftedt为f(t)的傅里叶变换，其反变换为2()()jutftFuedu。（2）一维离散傅里叶变换对连续的时间信号f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)。假设采样N次，则序列表示为{(0),(1),...,(1)}fffN。令n为离散变量，u为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：12/01()(),0,1,...,1NjunNnFufneuNN12/0()(),0,1,...,1NjunNufnFuenN实用标准文案文档傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（比如声音或图像）通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。（3）快速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。令,2/nkjnkNNWe，则F(u)可改写为1,01()()NnkNnFkfnWN。令N=2M，其中M为一正整数。带入式中，得到21,201()()2MnkMnFkfnWM11,,200111()(2)(21)2MMnknkkMMMnnFkfnWfnWWMM令1,01()(2)MnkeMnFkfnWM，1,01()(21)MnkoMnFkfnWM则有21()()()2keoMFkFkFkW，21()()()2keoMFkMFkFkW上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。（4）时间抽取的基2FFT蝶形算法对于（3）中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实...
