第3讲平面向量的数量积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.答案B2．(·大纲全国卷)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.解析由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.答案B3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.D.解析设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，得|cosθ|＝1，所以向量a与b共线，则sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x.又x∈(0，π)，所以2cosx＝2sinx，即tanx＝1.答案A4．(·银川质量检测)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是()A.B．2C．0D．1解析依题意得AE·BF＝(AB＋BE)·(AF－AB)＝AB·AF－AB2＋BE·AF－BE·AB＝－2＋1×2－0＝，故选A.答案A5．(·四川卷)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()．A．－2B．－1C．1D．2解析a＝(1，2)，b＝(4，2)，则c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.答案D二、填空题6．(·上海八校联合调研)向量a＝(3，4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．解析依题意得a·b＝－1，|b|＝，因此向量a在向量b方向上的投影为＝－.答案－7．(·云南统一检测)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________．解析由题意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝.答案8．(·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．解析因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案三、解答题9．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．(1)证明 a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.(2)解 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，k∴＝f(t)＝(t≠0)．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，4|∴a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，SABC∴△＝|AB||BC|sinABC∠＝×4×3×＝3.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A，B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.答案D12．(·合肥质量检测)在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析假设BC的中点是O.则AC2－AB2＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案C13．(·东北三...
