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高考数学一轮复习 第3章 第3讲 文 新人教A版 VIP免费

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第3讲导数的应用(二)基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(·湖南卷)若0<x1<x2<1,则()A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex2-ex1<lnx2-lnx1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex2解析令f(x)=,则f′(x)==.当0<x<1时,f′(x)<0,即f(x)在(0,1)上单调递减, 0<x1<x2<1,∴f(x2)<f(x1),即<,∴x2ex1>x1ex2,故选C.答案C2.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的函数关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100B.150C.200D.300解析由题意得,总成本函数为C=C(x)=20000+100x,总利润P(x)=又P′(x)=令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.答案D3.(·洛阳统考)若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点,则a可能的值为()A.4B.6C.7D.8解析由题意得f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2,由f′(x)<0得1<x<2,所以函数f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1),f(2),若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点,则需使f(1)=0或f(2)=0,解得a=5或a=4,而选项中只给出了4,所以选A.答案A4.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析A错,因为极大值未必是最大值;B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点;C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点;D正确,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.答案D5.(·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)解析a=0时,不符合题意.a≠0时,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.若a>0,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意.则a<0,由图象结合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即a×-3×+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.答案C二、填空题6.(·唐山模拟)已知a>0,函数f(x)=x3+ax2+bx+c在区间[-2,2]上单调递减,则4a+b的最大值为__________.解析 f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=3x2+2ax+b, 函数f(x)在区间[-2,2]上单调递减,∴即即4a+b≤-12,∴4a+b的最大值为-12.答案-127.(·开封一模)已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________.解析当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥,设g(x)=,x∈(0,1],g′(x)==-.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表:xg′(x)+0-g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是[4,+∞).答案[4,+∞)8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.解析对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又 f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.故f(m)+f′(n)的最小值为-13.答案-13三、解答题9.(·青岛一模)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+,函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上,且在此点有公切线.(1)求a,b的值;(2)试比较f(x)与g(x)的大小.解(1)f(x)=lnx的图象与x轴的交点坐标是(1,0),依题意,得g(1)=a+b=0,①又f′(x)=,g′(x)=a-,又f(x)与g(x)在点(1,0)处有公切线,∴g′(1)=f′(1)=1,即a-b=1,②由①②得a=,b=-.(2)令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=lnx-=lnx-x+(x>0),∴F′(x)=--=-2≤0.∴F(x)在(0,+∞)上为减函数,且F(1)=0,...

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