第3讲平面向量的数量积A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()．A．－B.C．2D．6解析由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.答案D2．(·东北三校联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4B．4C．－2D．2解析设a与b的夹角为θ， a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，∴|a|cosθ＝6×＝－4.答案A3．(·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D4．(·天津)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－，则λ等于()．A.B.C.D.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由AP＝λAB，得P(2λ，0)，由AQ＝(1－λ)AC，得Q(1－λ，(1－λ))，所以BQ·CP＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.]答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．解析以AB，AD为基向量，设AE＝λAB(0≤λ≤1)，则DE＝AE－AD＝λAB－AD，CB＝－AD，所以DE·CB＝(λAB－AD)·(－AD)＝－λAB·AD＋AD2＝－λ×0＋1＝1.又DC＝AB，所以DE·DC＝(λAB－AD)·AB＝λAB2－AD·AB＝λ×1－0＝λ≤1，即DE·DC的最大值为1.答案116．(·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则AB＝(，0)，AE＝(，1)，设F(t,2)，则AF＝(t,2)． AB·AF＝t＝，∴t＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.答案三、解答题(共25分)7．(12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝.8．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是()．A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析设P点坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP·BP有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案C2．(·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝()．A.B．1C.D.解析由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cosθ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因为θ∈，所以
