第2讲不等式及线性规划一、选择题1．(·广州综合测试)已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为()．A．－1B．0C．1D．2解析 x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1，≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号．答案C2．(·“”安徽江南十校联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()．A.B．C．8D．24解析 a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3. x＞0，y＞0，∴＋＝·(2x＋3y)≥＝(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号．答案C3．(·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为()．A．2B．3C．4D．5解析根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．由z＝x＋2y，得y＝－x＋.先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．当直线过点A时，z取得最小值．由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.答案B4．已知关于x的不等式2x≥＋7在x∈(a∞，＋)上恒成立，则实数a的最小值为()．A．1B．C．2D．解析2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.答案B5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是()．A．[－1,7]B．(∞－，3]C．(∞－，7]D．(∞－，－1]∪[7∞，＋)解析由题意得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0.故原题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2∞，＋)上恒成立，由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图象，知其对称轴为x＝，讨论得或解得a≤3或3
k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x>0，f(x)≤＝＝＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x≤＝＝＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f...
