第6讲立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案D2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2，3，3)B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0)D．P(3，－3，4)解析逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案A4.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1，1，1)B.C.D.解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AMEO∥，又O是正方形ABCD对角线交点，M∴为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.答案C5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．∴PM＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，AM＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，即PM⊥AM，∴AMPM.⊥答案C二、填空题6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．解析 a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.答案－47．设点C(2a＋1，a＋1，2)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________．解析PA＝(－1，－3，2)，PB＝(6，－1，4)．根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)＝(－x＋6y，－3x－y，2x＋4y)，∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案168．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________．解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，ABAP∴⊥，ADAP⊥，则①②正确．又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．答案①②③三、解答题9．(·北京房山一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.A∴(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1) PB＝(2，0，－2)，EH＝(1，0，－1)，∴PB＝2EH，∴PBEH.∥PB ⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，PB∴∥平面EFH.(2)PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAF∴⊥，PDAH⊥，又 AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解在棱C1D1上存在点F(为C1D1中点)，使B1F∥平面A1BE.证明如下：设正方体的棱长为1.如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系．依题意，得B(1，0，0)，E，A1(0，0，1)，BA1＝(－1，0，1)，BE＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·BA1＝0，n·BE＝0，得所以...
