高中数学总复习球和立体几何中的创新问题【知识要点】1．球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。2．截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3．球的表面积、体积公式：S=4πR2，V=34πR34.球中的切接问题：可以正方体，长方体，正四面体为例做推导。*5．球面距离：球面上两点的大圆劣弧长，是球面上两点间的最短距离*6．地球仪中的经纬度：纬度为线面角，经度为二面角【实战训练】【球的问题】1.64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（C）（A）（B）（C）（D）2.球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（C）倍。（A）（B）2（C）（D）43．在球面上有四个点P,A,B,C，且满足PA=PB=PC=，PA,PB,PC两两垂直，则球的表面积为_______；体积为__________．（）4．自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，球的半径为R，则（A）（A）（B）3R（C）2R（D）5.两球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两球的直径之差为（D）（A）1（B）2（C）3（D）46．半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足，则的最大值为（为三角形的面积）____________．327．与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为____________．8．正四面体的内切球半径与其外接球半径的比为_____________．9．球的外切正四面体的高是球的直径的________倍．210．半径为R的球的内接正四面体的高为________________．11．正四面体的棱长为1，球O与正四面体的各棱均相切，且O在正四面体的内部，则球O的表面积为_．12．将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（C）A．B．C．D．13．在一个大空心球的内部装有四个半径为1的实心球，那么这个大球的表面积至少是（A）A．B．C．D．14．三个半径为R的小球两两相切放在水平桌面上，又一个半径为r的小球同时与这三个小球相切，且和桌面也相切，则R：r为（D）A．B．C．D．17．已知球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于________；球的表面积等于________；球的体积等于_________．（）18．正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一球面上，则此球的半径为__________．19．在北纬60o圈上有A，B两地，它们经度相差180o，则A，B两地沿纬度圈的弧长与A，B两地的球面距离之比是_____________．3：220．设地球的半径为R，若甲地位于北纬45o，东经120o，乙地位于南纬75o，东经120o，则甲、乙两地的球面距离为(D)A．B．C．D．21．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为____________．22．已知球O的半径为1，A,B,C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC距离为_____________．23．半径为1的球面上有A,B,C三点，已知A和B，A和C之间的球面距离均为，B和C之间的球面距离为，则A,B,C三点的截面到球心的距离是____________．高中数学总复习24.如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（Ⅰ）求与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明∥平面（Ⅲ）求经过四点的球的体积。（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. ∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线.又 AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点因此，由三垂线定理，A1A⊥BC. A1A//B1B，且EG//B1B，EG⊥BC于是∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即∠AGE=120°由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.而FP平面B1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得A1A=A1B=A1C=a.又 A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心.设所求...
