[第15讲导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间：45分钟分值：100分)1．[·韶关调研]函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－D．不存在2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．43．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件5．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()A．12cm3B．15cm3C．18cm3D．16cm36．[·湖南卷]设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.C.D.7．[·全国卷]已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或18．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B.C．2D．39．[·辽宁卷]若x∈[0∞，＋)，则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B.≤1－x＋x2C．cosx≥1－x2D．ln(1＋x)≥x－x210．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．11．[·厦门质检]设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0∞，＋)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.则该商品零售价定为________时，毛利润L最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．15．(13分)[·河北重点中学联考]已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求实数a的取值范围．16．(12分)已知函数f(x)＝lnx－.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1∞，＋)上，函数y＝x2的图象恒在函数f(x)的图象的上方．课时作业(十五)【基础热身】1．C[解析]y′＝(x＋1)ex，令y′＝0，得x＝－1.因为x<－1时y′<0；x>－1时y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.2．C[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当00，当89时，y′<0；当00，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9∞，＋)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0∞，＋)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．【能力提升】5．C[解析]设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，由V′＝0得x＝1或x＝(舍去)，则V极大值＝V(1)＝18，且在...
