《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章23（一）VIP免费

§2.3数学归纳法(一)一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出()A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．04．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是()A．1B.C．1＋＋D．以上答案均不正确5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A.B.C.D.二、能力提升7．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.8．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.9．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为____________________________________________________________________．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．10．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．11．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．三、探究与拓展13．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．答案1．B2．B3．C4．C5．D6．B7．B8．f(k)＋＋＋－9．缺少步骤归纳奠基10．证明(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，当n＝k＋1时，(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)＝(1－)＝＝，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．11．证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)＝(－1)k·.即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．12．(1)解a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝.(2)证明①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝5×2k－2，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋＝5×2k－1.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝.13．解假设存在a、b、c使上式对n∈N*均成立，则当n＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得解此方程组可得a＝3，b＝11，c＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)对一切正整数均成立．(1)当n＝1时，命题显然成立．(2)假设n＝k时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，则当n＝k＋1时，有1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋5k＋12k＋24)＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立．