函数方程思想在解题中的应用一.在集合方面的运用例1.50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数．解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图设A∩B的元素为x个，则有（30－x）＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，可得x＝21，x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个二.在不等式方面的运用例2、解不等式分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到且题中出现,启示我们构造函数f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为，令f(x)=x3+5x，则不等式变为， f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于，解之得－1＜x＜2或x＜－2。例3.知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2用心爱心专心上式等价于或解得a<8.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+>0,(t[-1,1])恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[-1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a-2.(下同)三.在数列方面的运用例4.已知数列的通项公式，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？分析：根据条件，数列的点都在函数的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。例5．已知数列是等差数列，若，，求。解：，故为等差数列，其通项为一次函数，设，则点，，在其图象上，，，，故，解之得：。评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解。例6．设等差数列的前n项和为，已知，，。（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、……中哪一个值最大，并说明理由。分析：对于（1），可考虑由，建立关于d的不等式组，对于（2）由是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。解：（1）由知，用心爱心专心。（2），是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为：，，，故当整数时，最大，即最大。评注：对于等差数列来说，是n的二次函数，且常数项为零，可写为的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于，，故图象与x轴的另一交点横坐标，满足，故对称轴为，，因此，判定时最大，以上思维过程更为简捷。四.在解析几何方面的运用例7.设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．()Ⅰ求x2及C1的方程．()Ⅱ证明{}是等差数列．解：()Ⅰ由题意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则由题意得,,即又P2(x2,0)在C1上,2=∴x22-7x2+b1解得x2=3,b1=14.故C1方程为y=x2-7x+14.()Ⅱ设P(x,y)是C1上任意一点,用心爱心专心则|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,由题意得,,即=0,又 ,(∴xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0,(*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1.①当n=1时,x1=1,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,(*)又ak=-2-4k-,∴.即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对nN∈+成立,{∴xn}是等差数列.例8.在平面直...
