高考数学大一轮复习 10.3二项式定理教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§10.3二项式定理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn和Cn.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.[知识拓展]二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，…一直到C，C.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(1＋x)7展开式中x2的系数是________．答案21解析 Tr＋1＝C·17－r·xr＝C·xr，令r＝2，则T3＝Cx2，即展开式中x2的系数为C＝21.2．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案7解析由题意有n＝8，Tk＋1＝C()8－k(－1)k，k＝6时为常数项，常数项为7.3．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________.答案63解析逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.4．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，所以a10＋a11＝C－C＝0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思维点拨由通项公式写出第6项，令x的幂指数为0.解(1)通项公式为Tr＋1＝.因为第6项为常数项，所以r＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C2＝.(3)根据通项公式，由题意令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r， k∈N，∴r应为偶数．∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．(1)(2014·湖北改编)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝________.(2)设二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．答案(1)1(2)2解析(1)二项式(2x＋)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r·()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.(2)因为(x－)6展开式的通项公式为Tr＋1＝(－a)rCx6－r.所以A＝(－a)2C，B＝(－a)4C，由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解得a＝±2.又a>0，所以a＝2.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．思维点拨应用赋值法．解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C＋C...