考点45立体几何中的向量方法1．如图，在直三棱柱中，平面平面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分又，从而侧面，又侧面，故．．．．．．．．．．．6分（2）2．如图，α∩β＝l，二面角α－l－β的大小为θ，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝.(1)若θ＝120°，求直线AB与平面β所成角的正弦值；(2)若θ＝90°，求二面角A1－AB－B1的余弦值．【答案】（1）；（2）。【解析】(1)如图，过点A作平面β的垂线交于点G，连接GB、GA1，因为AG⊥β，所以∠ABG是AB与β所成的角．Rt△GA1A中，GA1A＝60°，AA1＝1,则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．3．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，．（1）求证：；（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）设平面的法向量，由，得，∴∴故所求的二面角的余弦值为4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析.二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．5．如图，在四棱锥中，底面是平形四边形，平面，点，分别为,的中点，且，.（1）证明：平面；（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的平面角余弦值的取值范围.【答案】（1）见解析（2）∴四边形，6．如图长方体的，底面的周长为4，为的中点.（Ⅰ）判断两直线与的位置关系，不需要说明理由；（Ⅱ）当长方体体积最大时，求二面角的大小；（Ⅲ）若点满足，试求出实数的值，使得平面.由，得，7．如图，在四棱锥中，，平分，平面，，点在上，.（1）求证：平面；（2）若，,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析.（2）.8．如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点。（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明见解析.(2).9．如图所示，三棱锥中，平面平面，是边长为的正三角形，是顶角的等腰三角形，点为的上的一动点.（1）当时，求证：；（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.从而，，，于是，10．如图，在多面体中，已知四边形为平行四边形，平面平面，为的中点，，，，.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）通过面面垂直的性质定理得出线面垂直；（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出每个点的坐标，分别求出平面DBM,BME的一个法向量，由向量夹角公式，求出二面角的平面角的余弦值即可。详解：(Ⅰ)在中， ，，，∴∴由勾股定理的逆定理，得 二面角为锐二面角，故其余弦值为.11．如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).12．如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.13．如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.14．如图，已知直三棱柱中,．（1）求的长．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】(1).(2).15．已知等腰直角分别为的中点，将沿折到的位置,,取线段的中点为.(I)求证://平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值【答案】(1)见解析.（2）.【解析】(1)证明：取中点，连接又四边形为平行四边形16．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.（1）求二面角的大小；（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】所以，所以,解得,所以存在点,且.17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点..（1）求证：平面平面；（2），在线段...
