第二节平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组1.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=2,则=()A.b-aB.b-aC.b-aD.b+a2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.B.C.(3,2)D.(1,3)3.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=()A.-2B.-4C.-3D.-14.已知向量,和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于()A.2B.-2C.3D.-35.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=,||=2,若=λ+μ,则λ+μ=()A.2B.C.2D.46.(2018贵州贵阳质检)设向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,则实数x的值为.7.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.8.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.19.如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.10.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,求x+y的值.B组提升题组1.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α、β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)2.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=.3.如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.2(1)设=λ,将用λ,,表示;(2)设=x,=y,求证:+是定值.4.如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),求m+n的值.答案精解精析A组基础题组1.C因为=-=+-,所以=-=-+-=-=b-a,故选C.2.A=(4,3),设D(x,y),则=(x,y-2),∵=2,∴∴则D.3.D∵a-b=(3,1),∴a-(3,1)=b,3则b=(-4,2).∴2a+b=(-2,6).又(2a+b)∥c,∴-6=6x,x=-1.故选D.4.A如图所示,建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(2,-2),=(1,2).因为=λ+μ,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以解得所以λ+μ=2.故选A.5.A因为C为第一象限内一点且||=2,∠AOC=,所以C(,),又=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.6.答案-2解析由题意得x2-1×4=0,解得x=±2.当x=2时,a=(2,1),b=(4,2),此时a,b方向相同,不符合题意,舍去;当x=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2),此时a,b方向相反,符合题意.7.答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,∴=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),∵=(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),4∴解得故点D的坐标为(2,4).8.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb可得解得所以=4.9.解析∵=-=a-b,∴===a-b,∴=+=a+b.∵=a+b,∴=+=+==a+b,∴=-=a+b-a-b=a-b.综上,=a+b,=a+b,=a-b.10.解析解法一:如图,过C作CE⊥OB于E.∵AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∴E为OB的中点.5连接OD,OC,则=.∴=+=-+.∴=+=-+=+.∵=x+y,∴x+y=+=-.解法二:不妨设☉O的半径为1,如图,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),D(0,1),C.∴=,=.又=x+y,∴=x·(-1,0)+y.∴解得∴x+y=-=-.6B组提升题组1.D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),∴解得x=0,y=2.故选D.2.答案解析解法一:连接AC.由=λ+μ,得=λ·(+)+μ·(+),则++=0,得++·=0,得+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于T,由已知易得AB=AT,∴==λ+μ,即=λ+μ,∵T,M,N三点共线,∴λ+μ=1,∴λ+μ=.73.解析(1)=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.(2)证明:由(1)得=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy,因为G是△OAB的重心,所以==×(+)=+.而,不共线,所以解得所以+=3,即+为定值.4.解析解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=,sinα=,∵与的夹角为α,∴=,∵=m+n,||=||=1,||=,∴=,①又∵与的夹角为45°,∴==,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=×-×=-,∴·=||·||·cos∠AOB=-,8将其代入①②得m-n=,-m+n=1,两式相加得m+n=,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则=m,=n,由正弦定理得==,∵||=,由解法一知,sinα=,cosα=,∴||===,||===,又=m+n=+,||=||=1,∴m=,n=,∴m+n=3.9
