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新(全国甲卷)高考数学三轮增分练 高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理-人教版高三全册数学试题VIP免费

新(全国甲卷)高考数学三轮增分练 高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理-人教版高三全册数学试题_第1页
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(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2016·四川)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解(1)由已知,得a=b,则椭圆E的方程为+=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1.点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l′的方程为y=x+m(m≠0),由方程组可得所以P点坐标为,|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解(1)如图,由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.3.(2016·浙江)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-,因此|AM|=|x1-x2|=·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知|AP|=,|AQ|=,故=,所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.由k1≠k2,k1,k2>0得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,因此=1+a2(a2-2),①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,由e==,得0

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