高考数学 函数与导数中的特称命题与全称命题分析VIP专享VIP免费

函数与导数中的特称命题与全称命题1．已知函数其中。（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。答案：解析：由，当时，在（）上单调递增。（2）由已知得，，其定义域为（），因为在其定义域内为增函数，所以即而，当且仅当x=1时，等号成立，所以（3）当a=2时，由得，或，当时，所以在（0，1）上，而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。又所以有：所以实数的取值范围是12．已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.（Ⅱ）当14a时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x，有11f(x)f(1)=-2，又已知存在21,2x，使12()()fxgx，所以21()2gx，21,2x，2即存在1,2x，使21()242gxxbx，即2922bxx，即922bxx1117[,]24，所以1122b，解得114b，即实数b取值范围是11[,)4。3.设函数(Ⅰ)当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)函数的定义域为.当时，令得.当时，当时，无极大值.4分（Ⅱ）5分当，即时，在上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得7分综上，当时，在定义域上是减函数；3当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值.10分而经整理得由得，所以4．（2010辽宁理数）（本小题满分12分）已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）.2121'()2aaxafxaxxx.当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加；当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0.故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)xx，1212()()4fxfxxx等价于12,(0,)xx，2211()4()4fxxfxx①4令()()4gxfxx，则1'()24agxaxx①等价于()gx在（0，+∞）单调减少，即1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx故a的取值范围为（-∞，-2].……12分5.已知函数()ln3()fxaxaxaR．（I）当1a时，求函数()fx的单调区间；（II）若函数()yfx的图象在点(2,(2))f处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t，函数32()[()]2mgxxxfx在区间(,3)t上总存在极值？()(0)afxaxx（I）当1a时，11()1xfxxx，…………………………………2分令()0fx时，解得01x，所以()fx在（0，1）上单调递增；……4分令()0fx时，解得1x，所以()fx在（1，+∞）上单调递减．………6分（II）因为函数()yfx的图象在点（2，(2)f）处的切线的倾斜角为45o，所以(2)1f．所以2a，2()2fxx．………………………………………………8分322()[2]2mgxxxx32(2)22mxxx，2()3(4)2gxxmx，……………………………………………10分因为任意的[1,2]t，函数32()[()]2mgxxxfx在区间(,3)t上总存在极值，所以只需(2)0,(3)0,gg……………………………………………………12分解得3793m．………………………………………………………14分6.已知函数(a为实常数).5(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.解析：（1）当时，，当，，故函数在上是增函数．………………...