20三角函数的图象与性质1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(0<φ<)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________．答案y＝2sin(4x＋)＋2解析由题意得解得又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为，所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.又直线x＝是函数图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又 0<φ<，故φ＝.故得y＝2sin(4x＋)＋2.2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．答案解析f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin(2ωx－)＋，又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为可知T＝3π，于是ω＝.3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)答案右解析由题意，得函数f(x)的周期T＝4＝，ω＝3，所以sin＝－1，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＝sin，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象．4.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.答案解析由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.又 |φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.5．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.答案解析由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.6．将函数f(x)＝－4sin的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为________．答案π解析依题意可得y＝f(x)⇒y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]⇒y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，因为所得图象关于直线x＝对称，所以g＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)．故φ的最小正值为.7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．答案[－，3]解析 f(x)和g(x)的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝3sin(2x－)． x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，sin(2x－)∈[－，1]，∴f(x)∈[－，3]．8．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案π解析 f(x)在上具有单调性，∴≥－，∴T≥. f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.又 f＝－f，∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.∴T＝－＝，∴T＝π.9．函数f(x)＝sin(x∈R)的图象为C，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x＝对称；②图象C关于点对称；③函数f(x)在区间内是增函数；④由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案①②③解析当x＝时，f＝sin＝sin＝sin＝－1，为最小值，所以图象C关于直线x＝对称，所以①正确；当x＝时，f＝sin＝sinπ＝0，图象C关于点对称，所以②正确；当－≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数单调递增，所以③正确；y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin，所以④错误，所以正确的是①②③.10．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解(1)f(x)＝sin2ωx＋－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝s...
