考点测试27平面向量的数量积及应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a，b夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝()A.B．－C．－D．答案A解析(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1××＝.故选A.2．如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则AB·BC＝()A.B．C．－D．－答案C解析由题意得AB＝AC＝2，设D是边BC的中点，在Rt△ABD中，cos∠ABC＝，AB·BC＝|AB||BC|·cos(π－∠ABC)＝2×1×＝－.故选C.3．已知向量a＝(，1)，b＝(－3，)，则向量b在向量a方向上的投影为()A．－B．C．－1D．1答案A解析由投影的定义可知，向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|b|cos〈a，b〉＝＝＝－.故选A.4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案A解析因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0，所以(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形，故选A.5．设a，b是互相垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，则实数λ的值是()A．2B．－2C．1D．－1答案B解析依题意，有|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝0，即λa2＋2b2＋(2λ＋1)a·b＝0，即λ＋2＝0，所以λ＝－2.故选B.6．在△ABC中，AB·AC＝0，|AB|＝4，|BC|＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分1线l上任一异于D的点，则AE·CB＝()A.B．C．－D．7答案A解析如图所示，|AC|＝＝3，AE·CB＝(AD＋DE)·CB＝AD·CB＋DE·CB＝AD·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝(AB2－AC2)＝.故选A.7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan＝()A.B．C．D．答案B解析由题意可得a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，故有sinα＝.再由α∈，得cosα＝－，∴tanα＝－，tan＝＝.故选B.8．正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF·AE＝|AE|2，则|AF|＝()A．3B．5C.D．答案D解析 AF·AE＝|AE|2，∴由数量积的几何意义可知EF⊥AE，由E是BC的中点，得AE＝，EF＝，AF＝， AE2＋EF2＝AF2，∴CF＝，∴AF＝.故选D.二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.B．C．D．答案B解析由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2. |a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝. 0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3答案C解析 BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|BC|＝1，∴＝1，∴t＝3，∴BC＝(1，0)，∴AB·BC＝2×1＋3×0＝2.故选C.211．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0答案B解析因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.故选B.12．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A.B．C.D．3答案A解析解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0,]，∴AE·BE＝(－1，t)·＝t2－t＋， t∈[0，]，∴当t＝－＝时，AE·BE取得最小值，(AE·BE)min＝－×＋＝.故选A.解法二：令DE＝λDC(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝， AE＝AD＋λDC，∴BE＝BA＋AE＝BA＋AD＋λDC，∴AE·BE＝(AD＋λDC)·(BA＋AD＋λDC)＝AD·BA＋|AD|2＋λDC·BA＋λ2|DC|2＝3λ2－λ＋.当λ＝－＝时，AE·BE取得最小值.故选A.13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a...
