高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 课时达标检测（四十一）利用空间向量求空间角 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时达标检测(四十一)利用空间向量求空间角一、全员必做题1．已知直三棱柱ABCA1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴＝(0，－1,2)，＝(－2,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝－.∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.2．(2016·大连二模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2，AC＝2.M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ＝QC1.(1)证明：PQ∥平面ABC；(2)若直线BA1与平面ABM所成角的正弦值为，求∠BAC的大小．解：(1)取MC的中点，记为点D，连接PD，QD. P为MA的中点，D为MC的中点，∴PD∥AC.又CD＝DC1，BQ＝QC1，∴QD∥BC.又PD∩QD＝D，∴平面PQD∥平面ABC.又PQ⊂平面PQD，∴PQ∥平面ABC.(2) BC，BA，BB1两两互相垂直，∴以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设BC＝a，BA＝b，则各点的坐标分别为B(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，b,0)，A1(0，b,2)，M(a,0,1)，∴＝(0，b,2)，＝(0，b,0)，＝(a,0,1)．设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取x＝1，则可得平面ABM的一个法向量为n＝(1,0，－a)，∴|cos〈n，〉|＝＝，又a2＋b2＝8，∴a4＋4a2－12＝0，∴a2＝2或－6(舍)，即a＝.∴sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝.3.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，△ABC≌△ADC，PA＝AC＝2AB＝2，E是线段PC的中点．(1)求证：DE∥平面PAB；(2)求二面角DCPB的余弦值．解：(1)证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴＝(－1,0,1)，＝(1,0,2)，＝(1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，则∴∴n＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量．又·n＝0，DE⊄平面PAB，∴DE∥平面PAB.(2)由(1)易知＝(0，，0)，＝，＝，设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则∴令x1＝2，则y1＝0，z1＝－1，∴n1＝(2,0，－1)为平面PBC的一个法向量．设平面DPC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴令x2＝1，则y2＝，z2＝1，∴n2＝(1，，1)为平面DPC的一个法向量．∴cos〈n1，n2〉＝＝，故二面角DCPB的余弦值为.二、重点选做题1.如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2.(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：连接BE.在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED，所以PE⊥AD.又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，故PE⊥BD.在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE，所以四边形BCDE为平行四边形，又BC＝CD，所以四边形BCDE为菱形，故BD⊥CE，又PE∩EC＝E，所以BD⊥平面PEC，又BD⊂平面PBD，所以平面PEC⊥平面PBD.(2)取BC的中点F，连接EF.由(1)可知，△BCE是一个正三角形，所以EF⊥BC，又BC∥AD，所以EF⊥AD.又PE⊥平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PE＝t(t>0)，则D(0,2,0)，A(0，－2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，－1,0)．因为BD⊥平面PEC，所以＝(－，3,0)是平面PEC的一个法向量，又＝(，－1，－t)，所以cos〈，〉＝＝＝.由已知可得sin＝|cos〈，〉|＝，得t＝2(负值舍去)．故P(0,0,2)，＝(，－1，－2)，＝(，1,0)．设平面APB的法向量为n＝(x，y，z)，则由可得取y＝－，则x＝，z＝，故n＝(，－，)为平面APB的一个法向量，所以cos〈，n〉＝＝＝－.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈，n〉|＝.2．如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角CAEF的余弦值．解：(1)证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB...