第1讲两个基本计数原理一、填空题1．5名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列)，所有可能的结果共有_______种．解析第n个项目的冠军可由5名运动员中的任一人取得，共5种方法(n＝1，2，3)，根据分步计数原理，所有可能的结果共有5×5×5＝53(种)．答案532．现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有________种．解析首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为A，即满足题意的情况共有CCA＝144(种)．答案1443．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200.答案72004．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．答案485．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．答案406．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7}，C＝{8，9}，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出的一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可组成集合________个．解析分三类：第一类：若取出的集合是A，B，则可组成4×3＝12个集合；第二类：若取出的集合是A，C，则可组成4×2＝8个集合；第三类：若取出的集合是B，C，则可组成3×2＝6个集合，故一共可组成12＋8＋6＝26个集合．答案267．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________(用数字作答)．解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2408.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12(种)填法．答案129．从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C×6＝24(种)．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有C×2＝12(种)．综上共有24＋12＝36(种)．答案3610．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．解析正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12上“正交线面对”，共有36个．答案36二、解答题11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)...
